Урок 23 — Взаимное расположение прямых

Критерии и формулы

Параллельность и перпендикулярность

Даны прямые $r: y = m_r x + n_r$ и $s: y = m_s x + n_s$:

• Параллельны (не совпадают): $m_r = m_s$ и $n_r \neq n_s$.
• Совпадают: $m_r = m_s$ и $n_r = n_s$.
• Пересекаются: $m_r \neq m_s$.
• Перпендикулярны: $m_r \cdot m_s = -1$ (предполагая, что ни одна не вертикальна).

Случаи с вертикальными прямыми: $x = a$ — вертикальная, $y = b$ — горизонтальная. Две вертикальные между собой параллельны; вертикальная с горизонтальной — перпендикулярны.

Угол между прямыми

$\tan\theta = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|$

(Предполагая, что ни одна не вертикальна.)

Расстояние от точки до прямой

Точка $P_0 = (x_0, y_0)$ и прямая $Ax + By + C = 0$:

$d(P_0, r) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Расстояние между параллельными прямыми

Для $r: Ax + By + C_1 = 0$ и $s: Ax + By + C_2 = 0$: $d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$