Урок 25 — Конические сечения: эллипс, парабола, гипербола

Канонические уравнения

Эллипс

Сумма расстояний до 2 фокусов постоянна: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Где $a > b > 0$. Фокусы в $(\pm c, 0)$ с $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Большая ось $= 2a$, малая $= 2b$. Эксцентриситет $e = c/a \in [0, 1)$. Когда $a = b$, это окружность.

Парабола

Расстояние до фокуса $=$ расстояние до директрисы: $y^2 = 4px$

Фокус в $(p, 0)$, директриса $x = -p$.

Гипербола

Разность расстояний до 2 фокусов постоянна: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Фокусы в $(\pm c, 0)$ с $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Эксцентриситет $e = c/a > 1$. Асимптоты $y = \pm (b/a) x$.