Урок 26 — Векторы на плоскости

Векторы в ℝ²

Операции

• Сумма: $\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$.
• Скаляр: $\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$.
• Вычитание: $\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$.

Модуль (норма)

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Единичный вектор

$\hat v = \vec v / |\vec v|$ имеет модуль 1. Орт.

Канонические векторы

$\hat\imath = (1, 0)$, $\hat\jmath = (0, 1)$. Любой вектор: $\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$.

Свойства

• Коммутативность: $\vec u + \vec v = \vec v + \vec u$.
• Ассоциативность: $(\vec u + \vec v) + \vec w = \vec u + (\vec v + \vec w)$.
• Тождество: $\vec 0 = (0, 0)$, $\vec v + \vec 0 = \vec v$.
• Противоположный: $\vec v + (-\vec v) = \vec 0$.
• Дистрибутивность: $\alpha(\vec u + \vec v) = \alpha \vec u + \alpha \vec v$.

Эти 8 свойств характеризуют векторное пространство — формально рассматривается в линейной алгебре (Трим 12).

Правило параллелограмма

$\vec u + \vec v$ — диагональ параллелограмма, образованного $\vec u$ и $\vec v$.