Урок 27 — Скалярное произведение

Определение и свойства

Свойства

• Коммутативность: $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$.
• Дистрибутивность: $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$.
• Линейность по скаляру: $(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v)$.
• Положительность: $\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0$, с равенством $\iff \vec u = \vec 0$.

Ортогональность

$\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0$ (ортогональны ⟺ скалярное произведение ноль).

Угол

$\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}$

Проекция

Проекция $\vec u$ в направлении $\vec v$: $\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v$

Центральное применение — механическая работа

$W = \vec F \cdot \vec d$ — работа силы есть её скалярное произведение со смещением.