Урок 29 — Линейные системы 2x2 и 3x3

Методы и теория

Методы решения

1. Подстановка: выразить одну переменную и подставить в другую.
2. Сложение (исключение): комбинировать уравнения для исключения переменной.
3. Крамер: отношение определителей.
4. Метод Гаусса: привести матрицу к треугольному виду.

Крамер 2x2

Для $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$ при $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Крамер 3x3

Определитель 3x3 (Саррюс): $\det A = \sum$ произведений главных диагоналей $-$ произведений побочных диагоналей.

Классификация по определителю

• $D \neq 0$: единственное решение.
• $D = 0$ + совместная система: бесконечно много решений (аффинное подпространство).
• $D = 0$ + несовместная система: нет решений.