Урок 32 — Операции с матрицами

Операции

Сумма и разность

Для матриц одинаковой размерности: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

Умножение на скаляр

$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$

Матричное произведение

Определено только когда число столбцов $A$ = число строк $B$: $A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = (AB)_{m \times p}$

$\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}}$

Свойства

• Ассоциативность: $(AB)C = A(BC)$.
• Дистрибутивность: $A(B + C) = AB + AC$.
• НЕ коммутативно: в общем случае $AB \neq BA$.
• Единица: $AI = IA = A$.
• Нуль: $AO = OA = O$.

Почему матричное произведение «странное»

Потому что оно соответствует композиции линейных преобразований: применить сначала $B$, а потом $A$ — то же самое, что применить $AB$. Порядок важен, потому что важна композиция.