Урок 33 — Транспонированная, единичная, обратная матрица

Транспонированная и обратная

Транспонированная

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Меняются местами строки и столбцы. Свойства:

• $(A^T)^T = A$
• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(\alpha A)^T = \alpha A^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$ (меняет порядок!)

Симметричная матрица: $A^T = A$.

Единичная

$I_n$: квадратная $n \times n$ матрица с 1 на диагонали и 0 вне её. Для всех $A_{n \times n}$: $AI = IA = A$

Обратная

$A_{n \times n}$ обратима, если существует $A^{-1}$ такая, что $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Эквивалентно:

1. $A$ обратима.
2. $\det A \neq 0$.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ имеет только $\mathbf{x} = \mathbf{0}$.
4. Столбцы $A$ линейно независимы.

Обратная 2x2

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(Действительно, если $ad - bc \neq 0$.)

Свойства обратной

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ (меняет порядок!)
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $(\alpha A)^{-1} = (1/\alpha) A^{-1}$