Урок 34 — Определители 2x2 и 3x3

Вычисление и свойства

2x2

$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

3x3 (Саррюс)

$\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

(Правило «3 нисходящих произведения − 3 восходящих произведения».)

Свойства

1. $\det(I) = 1$.
2. $\det(A^T) = \det(A)$.
3. $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.
4. $\det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)$ для $A_{n \times n}$.
5. $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$.
6. Перестановка 2 строк/столбцов меняет знак.
7. Если у $A$ есть 2 одинаковых строки/столбца, $\det A = 0$.
8. Прибавление кратного одной строки к другой не меняет определитель.

Геометрическая интерпретация

• $|\det A|$ = объём параллелепипеда, порождённого столбцами $A$.
• $\det A > 0$: ориентация сохраняется. $\det A < 0$: ориентация инвертируется.
• $\det A = 0$: столбцы линейно зависимы (параллелепипед «сплющен»).

Критерий обратимости

$A$ обратима $\iff \det A \neq 0$.