Урок 35 — Решение систем через матрицы

Методы решения

Матричная форма

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases}$ ⟺ $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ с $A_{3 \times 3}$, $\mathbf{x}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$.

Метод 1 — Метод Гаусса

Элементарные операции (не меняют решение):

1. Перестановка двух строк.
2. Умножение строки на ненулевой скаляр.
3. Прибавление кратного одной строки к другой.

Цель: треугольный вид расширенной матрицы $[A | \mathbf{b}]$ до ступенчатой формы. Затем обратная подстановка.

Метод 2 — Крамер

Для $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ с $\det A \neq 0$: $x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

где $A_i$ — это $A$ с $i$-м столбцом, заменённым на $\mathbf{b}$.

Метод 3 — Обратная матрица

$\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$. $A^{-1}$ можно вычислить через $[A | I] \to [I | A^{-1}]$ методом исключения.

Когда какой использовать

• Крамер: красив теоретически, но $O(n^4)$ — используется только для $n \leq 3$.
• Гаусс: $O(n^3)$, стандарт на практике.
• Явная обратная: только если нужно решать несколько систем с одной и той же $A$.

Классификация

• Определённая: единственное решение ($\det A \neq 0$).
• Неопределённая: бесконечно много решений ($\det A = 0$ + согласованная).
• Несовместная: нет решения ($\det A = 0$ + несогласованная).