v1 · padrão canônico

Lição 39 — Probabilidade clássica

Espaço amostral, eventos, axiomas de Kolmogorov. Probabilidade clássica: casos favoráveis sobre possíveis. Complemento, adição, condicional e independência. Bayes simples.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math B japonês · Equiv. Stochastik Klasse 11 alemã · Equiv. H2 Math Statistics (Singapura)

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

Книги, охватывающие этот урок

OpenIntro Statistics, 4th ed. — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · §3.1–§3.3 · CC-BY-SA · Основной источник: строгие определения пространства элементарных исходов, правила вероятности, условная вероятность и теорема Байеса с прикладными примерами.
OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · §3.1–§3.5 · CC-BY · Полный охват диаграммами Венна, таблицами сопряжённости и деревьями вероятностей; доступный язык со множеством примеров из повседневной жизни.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · Гл. 1–4 · GNU FDL · Строгое изложение с полными доказательствами; охватывает дискретные пространства элементарных исходов, условную вероятность, независимость и теорему Байеса в глубину.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Определения и аксиомы

Пространство элементарных исходов и события

Definition· Пространство элементарных исходов и событие

Случайный эксперимент — это любая процедура, результат которой не определён с уверенностью до её выполнения.

Пространство элементарных исходов $\Omega$ — множество всех возможных результатов.
Событие $A$ — любое подмножество $A \subseteq \Omega$ .
Элементарное событие — одноэлементное подмножество $\{\omega\}$ , где $\omega \in \Omega$ .
Достоверное событие — $\Omega$ (всегда происходит). Невозможное событие — $\emptyset$ .

Аксиомы Колмогорова (1933)

Definition· Аксиомы Колмогорова

Функция вероятности — это отображение $P: \mathcal{P}(\Omega) \to \mathbb{R}$ , удовлетворяющее:

Неотрицательность: $P(A) \geq 0$ для любого события $A$ .
Нормировка: $P(\Omega) = 1$ .
Аддитивность (для непересекающихся событий $A \cap B = \emptyset$ ): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

"Вероятность события $A$ — это число от 0 до 1, которое показывает долю случаев, когда ожидается, что $A$ произойдёт, если эксперимент повторяется многократно." — OpenIntro Statistics, 4th ed., §3.1

Свойства, вытекающие из аксиом

Теорема Байеса

"Теорема Байеса — это инструмент обновления убеждений в свете новых данных. Априорная вероятность $P(A)$ обновляется до апостериорной $P(A \mid B)$ при наблюдении $B$ ." — Grinstead-Snell, Introduction to Probability, Ch. 4

Решённые примеры

Example· Классическая вероятность с двумя кубиками

Задача. Два честных шестигранных кубика бросаются одновременно. Вычислите вероятность того, что сумма равна 8.

Стратегия. Построить пространство элементарных исходов $\Omega$ упорядоченных пар $(i, j)$ с $i, j \in \{1,2,3,4,5,6\}$ и найти пары, дающие сумму 8.

Решение.

Пространство элементарных исходов: $|\Omega| = 36$ .
Событие $A$ = сумма равна 8: пары $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ , поэтому $|A| = 5$ .
Вероятность: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{5}{36}$

Проверка. Сумма 8 менее вероятна, чем сумма 7 (6 пар) и более вероятна, чем сумма 9 (4 пары) — согласуется с треугольным распределением сумм.

Источник. OpenIntro Statistics, 4th ed., §3.1 — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA.

Example· Дополнение и включение-исключение в колоде

Задача. Карта вытягивается наугад из стандартной колоды из 52 карт. Вычислите: (a) $P(\text{король или пика})$ ; (b) $P(\text{не король})$ .

Стратегия. Для (a) применить включение-исключение: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , так как король пик принадлежит обоим событиям. Для (b) использовать дополнение.

Решение.

$A = \{\text{король}\}$ , $B = \{\text{пика}\}$ . $|A| = 4$ , $|B| = 13$ , $|A \cap B| = 1$ .
(a) Включение-исключение: $P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0{,}308$
(b) Дополнение: $P(\text{не король}) = 1 - \frac{4}{52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13} \approx 0{,}923$

Проверка. В (a): $4 + 13 - 1 = 16$ карт удовлетворяют "король или пика". Правильно.

Источник. OpenStax Statistics, §3.3 — Illowsky, Dean · CC-BY.

Example· Условная вероятность в урне без замены

Задача. Урна содержит 5 красных и 3 синих шара. Вытягиваются 2 шара без замены. Вычислите: (a) $P(\text{второй синий} \mid \text{первый красный})$ ; (b) $P(\text{оба синих})$ .

Стратегия. Для (a) после вытягивания одного красного в урне остаётся 7 шаров, 3 синих. Для (b) применить правило умножения.

Решение.

(a) После вытягивания 1 красного остаётся 7 шаров: 4 красных и 3 синих. $P(\text{2-й синий} \mid \text{1-й красный}) = \frac{3}{7}$
(b) Правило умножения: $P(\text{оба синих}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$

Проверка комбинаторикой: $\binom{3}{2}/\binom{8}{2} = 3/28$ . Совпадает.

Источник. OpenIntro Statistics, 4th ed., §3.2, пример 3.28 — CC-BY-SA.

Example· Парадокс дня рождения — дополнение

Задача. В комнате находится 3 человека, какова вероятность того, что хотя бы два из них родились в один день (365 дней равновероятны)?

Стратегия. Вычислить дополнение: все 3 человека родились в разные дни.

Решение.

Дополнение (все дни разные): $P(\text{все дни разные}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} = \frac{365 \cdot 364 \cdot 363}{365^3}$
Искомая вероятность: $P(\text{хотя бы 2 в один день}) = 1 - \frac{365 \cdot 364 \cdot 363}{365^3} \approx 1 - 0{,}9918 = 0{,}0082$

Только $0{,}82\%$ для 3 человек. Для 23 человек это значение превышает $50\%$ — знаменитый парадокс дня рождения.

Источник. OpenIntro Statistics, 4th ed., §3.1, упражнение 3.5 — CC-BY-SA.

Example· Теорема Байеса — медицинская диагностика

Задача. Болезнь поражает $1\%$ населения ( $P(D) = 0{,}01$ ). Тест имеет чувствительность $P(+ \mid D) = 0{,}90$ и специфичность $P(- \mid D^c) = 0{,}95$ . Человек тестировался положительно. Какова вероятность, что он болен?

Стратегия. Применить Байес с полной вероятностью в знаменателе.

Решение.

Полная вероятность положительного теста: $P(+) = 0{,}90 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99 = 0{,}009 + 0{,}0495 = 0{,}0585$
Байес: $P(D \mid +) = \frac{0{,}90 \times 0{,}01}{0{,}0585} = \frac{0{,}009}{0{,}0585} \approx 0{,}154$

Только 15,4% вероятность болезни при положительном тесте — эффект низкой распространённости: большинство положительных — ложноположительные ( $0{,}0495/0{,}0585 \approx 84{,}6\%$ ).

Проверка: $P(D \mid +) + P(D^c \mid +) = 0{,}154 + 0{,}846 = 1$ . Согласуется.

Источник. OpenStax Statistics, §3.2, пример 3.16 — CC-BY. Адаптировано из OpenIntro Statistics §3.2.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 8Challenge 1Proof 1

Ex. 39.1Application
Честный кубик с 6 гранями бросается. Какова вероятность получить кратное 3?
Solve online
Ex. 39.2Application
Три честные монеты бросаются одновременно. Какова вероятность получить ровно 2 орла?
Solve online
Ex. 39.3ApplicationAnswer key
Два честных кубика бросаются. Какова вероятность того, что сумма равна 7?
Solve online
Ex. 39.4Application
Два кубика бросаются. Какова вероятность того, что сумма больше чем 9?
Solve online
Ex. 39.5Application
Карта вытягивается наугад из колоды из 52 карт. Какова вероятность быть тузом?
Solve online
Ex. 39.6Application
Карта вытягивается наугад. Какова вероятность быть королём или пикой?
Solve online
Ex. 39.7Application
Две карты вытягиваются без замены из колоды 52. Какова вероятность обе быть тузами?
Solve online
Ex. 39.8Application
Два честных кубика бросаются. Какова вероятность хотя бы один показать число 6?
Solve online
Ex. 39.9Application
Какой набор значений согласуется с $P(A \cup B) = 0{,}7$ ?
Solve online
Ex. 39.10Application
$P(A) = 0{,}6$ и $P(B \mid A) = 0{,}4$ . Вычислите $P(A \cap B)$ .
Solve online
Ex. 39.11Application
$P(A) = 0{,}3$ . Чему равно $P(A^c)$ ?
Solve online
Ex. 39.12ApplicationAnswer key
Три монеты бросаются. Какова вероятность получить хотя бы один орёл?
Solve online
Ex. 39.13Application
Два кубика бросаются. Какова вероятность того, что сумма ровно 10?
Solve online
Ex. 39.14Application
Карта вытягивается наугад. Какова вероятность быть пикой?
Solve online
Ex. 39.15ApplicationAnswer key
Два кубика бросаются. Какова вероятность обоих показать чётное число?
Solve online
Ex. 39.16ApplicationAnswer key
Три независимые монеты бросаются. Какова вероятность выпадения ни одной решки?
Solve online
Ex. 39.17Application
Два кубика бросаются. Раз первый показал 4, какова вероятность суммы равной 7?
Solve online
Ex. 39.18Application
$P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}5$ , $P(A \cap B) = 0{,}2$ . Вычислите $P(A \mid B)$ и определите, независимы ли $A$ и $B$ .
Solve online
Ex. 39.19Application
Урна имеет 5 красных и 3 синих шара. Вытягиваются 2 без замены. Чему равно $P(\text{оба синих})$ ?
Solve online
Ex. 39.20ApplicationAnswer key
$A$ и $B$ независимы, $P(A) = 0{,}5$ и $P(B) = 0{,}3$ . Вычислите $P(A \cap B)$ .
Solve online
Ex. 39.21UnderstandingAnswer key
Могут ли взаимно исключающие события (с положительными вероятностями) быть независимыми?
Solve online
Ex. 39.22Application
Два кубика бросаются. $A$ = "первый чётный", $B$ = "второй показывает 3". Зная, что $A$ и $B$ независимы, вычислите $P(B^c)$ .
Solve online
Ex. 39.23Application
$P(A) = 0{,}4$ , $P(B \mid A) = 0{,}8$ . Вычислите $P(A \cap B)$ .
Solve online
Ex. 39.24Application
Разбиение $\{A_1, A_2, A_3\}$ с $P(A_1) = 0{,}3$ , $P(A_2) = 0{,}5$ , $P(A_3) = 0{,}2$ и $P(B \mid A_1) = 0{,}9$ , $P(B \mid A_2) = 0{,}5$ , $P(B \mid A_3) = 0{,}1$ . Вычислите $P(B)$ по полной вероятности.
Solve online
Ex. 39.25Application
$P(A) = 0{,}4$ , $P(B \mid A) = 0{,}8$ , $P(B \mid A^c) = 0{,}3$ . Вычислите $P(B)$ по полной вероятности.
Solve online
Ex. 39.26ApplicationAnswer key
Используя те же данные упражнения 39.25, вычислите $P(A \mid B)$ по теореме Байеса.
Solve online
Ex. 39.27UnderstandingAnswer key
Какое из утверждений ниже правильно про независимость событий?
Solve online
Ex. 39.28ApplicationAnswer key
Урна с 5 красными и 3 синими, без замены. Раз первая выборка была красная, чему равно $P(\text{2-я синяя})$ ?
Solve online
Ex. 39.29Modeling
Болезнь имеет распространённость $P(D) = 1\%$ . Тест: чувствительность $90\%$ и доля ложноположительных $10\%$ . Человек тестировался положительно. Чему равно $P(D \mid +)$ ?
Solve online
Ex. 39.30Modeling
Электронная система имеет 3 компонента в последовательности, каждый с надёжностью $90\%$ и независимыми отказами. Чему равно $P(\text{система работает})$ ?
Solve online
Ex. 39.31Modeling
На производственной линии доля дефектов $1\%$ за деталь и детали производятся независимо. В партии 3 деталей, чему равно $P(\text{хотя бы 1 дефект})$ ?
Solve online
Ex. 39.32Modeling
В классе $60\%$ девочек и $40\%$ мальчиков. Доля прохождения: $80\%$ среди девочек и $50\%$ среди мальчиков. Случайно выбран прошедший ученик. Чему равно $P(\text{это девочка})$ ?
Solve online
Ex. 39.33ModelingAnswer key
В менделевском скрещивании Aa $\times$ Aa, вероятность рецессивного фенотипа (генотип aa) равна $1/4$ . В 3 независимых потомках, чему равно $P(\text{ровно 1 рецессивный})$ ?
Solve online
Ex. 39.34Modeling
Система имеет две подсистемы в параллели с независимыми надёжностями $P_1 = 0{,}60$ и $P_2 = 0{,}45$ . Система работает если хотя бы одна подсистема работает. Чему равно $P(\text{система работает})$ ?
Solve online
Ex. 39.35Modeling
Задача Монти Холла: 3 двери, 1 имеет приз. Вы выбираете одну. Ведущий открывает одну из двух остальных без приза. Вы переключаетесь на дверь. Чему равно $P(\text{выиграть переключением})$ ?
Solve online
Ex. 39.36Modeling
"Парадокс дня рождения": с 23 людьми в комнате, чему приблизительно равно $P(\text{хотя бы 2 родились в один день})$ ?
Solve online
Ex. 39.37Understanding
Какова правильная формула вероятности объединения двух произвольных событий $A$ и $B$ ?
Solve online
Ex. 39.38Understanding
Какое утверждение о условной вероятности и независимости правильно?
Solve online
Ex. 39.39Challenge
Болезнь с распространённостью $1\%$ , тест с чувствительностью $90\%$ и специфичностью $95\%$ . Человек тестировался положительно. Чему равно $P(\text{болезнь} \mid \text{положительный})$ ?
Solve online
Ex. 39.40Proof
Докажите $P(A^c) = 1 - P(A)$ из аксиом Колмогорова. Определите каждую используемую аксиому.
Solve online

Источники

OpenIntro Statistics, 4th ed. — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA · Гл. 3: Вероятность (§3.1–§3.3). Основной источник.
OpenStax Statistics — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY · Гл. 3: Темы вероятности (§3.1–§3.5).
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · Dartmouth · EN · GNU FDL · Гл. 1–4 (пространства элементарных исходов, независимость, условная, Байес).