Lição 40 — Consolidação anual: workshop integrador Ano 1

Какова максимальная область определения $f(x) = \log_2(x^2 - 9)$?

Вычисли среднюю скорость изменения $f(x) = x^2 - 3x$ на отрезке $[1, 4]$.

Даны $f(x) = x^2$ и $g(x) = 2x + 1$. Вычисли $(f \circ g)(2)$ и $(g \circ f)(2)$.

Найди обратную функцию для $f(x) = \dfrac{x - 3}{2}$.

Реши показательное уравнение $4^x = 32$.

Колония бактерий начинается со 100 единиц и удваивается каждые 30 минут. Сколько бактерий будет через 3 часа?

Капитал R$ 1.000 инвестирован под 10% годовых (сложные проценты). Какова сумма через 7 лет?

Вычисли $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 5}{n + 1}$.

Для $f(x) = x^2 - 6x + 5$ определи вершину и корни функции.

Средняя скорость изменения $f(x) = x^2$ постоянна для всех отрезков $[a, b]$?

Какова область определения $g(x) = \sqrt{x^2 + 3x - 4}$?

Какова обратная функция для $f(x) = 3^x$, и какова область $f^{-1}$?

Вычисли $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Реши $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ на $[0, 2\pi)$.

В треугольнике $a = 5$, $b = 7$ и $C = 60°$, вычисли сторону $c$ по теореме косинусов.

Высота прилива (в метрах) моделируется как $h(t) = 2 + 1{,}5\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)$. Какие максимальная и минимальная высоты?

В АП с $a_1 = 3$ и разностью $r = 5$, вычисли $a_{20}$ и $S_{20}$.

В ГП с $a_1 = 2$ и знаменателем $q = 3$, вычисли $S_8$.

Вычисли сумму $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$

Вычисли $1 + 2 + 3 + \cdots + 200$ по формуле Гаусса.

Период простого маятника длины $L = 1$ м дан формулой $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, с $g = 9{,}8$ м/s². Вычисли $T$.

Радиоактивное вещество имеет период полураспада 5 дней. Начиная со 100 g, сколько останется через 25 дней?

Вычисли расстояние между точками $(2, 3)$ и $(8, 11)$.

Определи уравнение прямой, проходящей через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$.

Напиши уравнение окружности с центром $(2, -1)$ и радиусом $5$.

Вычисли скалярное произведение векторов $(3, 4)$ и $(1, 2)$, и угол между ними.

Вычисли определитель $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Реши систему $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -2 \end{cases}$ по правилу Крамера.

Вычисли $A^{-1}$ для $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.

Какое из следующих матричных тождеств верно для совместных матриц $A$ и $B$?

Самолёт летит на 600 км/ч в направлении на север. Дует ветер 80 км/ч в направлении на восток. Какова результирующая скорость и действительное направление?

Определи конику $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ и найди её полуоси и фокусы.

Сколько общих точек у прямой $y = x - 1$ с окружностью $x^2 + y^2 = 25$? Обоснуй дискриминантом и найди точки.

Классифицируй систему $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 7 \end{cases}$ (совместна/несовместна; единственное решение/бесконечные).

Верно ли, что $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ для обратимых квадратных матриц $A$ и $B$?

При каких значениях $k$ матрица $\begin{pmatrix} k & 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}$ сингулярна (определитель равен нулю)?

Вычисли $5!$

Вычисли $\dbinom{8}{3}$.

Сколько анаграмм (перестановок всех букв) может быть из слова "ПРОБЛЕМА", чьи 8 букв все различны?

Ресторан предлагает 5 вариантов закуски, 4 основного блюда и 3 десерта. Сколько различных меню из 3 позиций (по одной из каждой) возможно?

В мега-лотерее игрок выбирает 6 чисел из 60. Какова вероятность угадать 6 выигрышных чисел?

Честную монету бросают 3 раза. Какова вероятность получить 3 орла?

$X \sim \mathrm{Bin}(6,\ 0{,}5)$. Вычисли $P(X = 3)$.

Редкая болезнь с $P(D) = 0{,}001$. Тест с чувствительностью $99\%$ и специфичностью $95\%$. Учитывая, что тест дал положительный результат, какова вероятность иметь болезнь?

Урна содержит 4 красных и 6 синих шаров. Один извлекается без возвращения. Учитывая, что первый был красный, какова вероятность, что второй синий?

Какова тождество Паскаля для биномиальных коэффициентов?

Из 5 кандидатов сколько различных комиссий из 2 членов можно составить (порядок не важен)?

$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}4$ и $P(A \cap B) = 0{,}1$. Вычисли $P(A \cup B)$.

Реши $\sin x + \cos x = 1$ на $[0, 2\pi)$.

Докажи тождество Паскаля $\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}$ используя комбинаторный аргумент (подсчёт по случаям). Покажи каждый шаг разбиения.