Lição 41 — Limite formal: definição ε-δ

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x + 1)$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 1}{x + 5}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{\!x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$.

Для существования $\lim_{x \to a} f(x)$ необходимо ли, чтобы $f(a)$ был определён?

При каком условии существует предел $\lim_{x \to a} f(x)$?

Существует ли предел $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$? Вычислите односторонние пределы и сделайте вывод.

Существует ли предел $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$?

Какая из ситуаций описывает функцию без предела при $x = 2$?

Напишите по памяти определение ε-δ для $\lim_{x \to a} f(x) = L$ и объясните роль каждого квантора.

Рассмотрите $f(x) = 1$ для $x > 0$ и $f(x) = -3$ для $x \leq 0$. Вычислите односторонние пределы при $x = 0$ и определите, существует ли двусторонний предел.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$ используя теорему о сжатии.

Функция $f(x) = (x^2 - 9)/(x-3)$ не определена при $x = 3$. Вычислите $\lim_{x \to 3} f(x)$ и объясните, почему предел существует.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$ и объясните, почему результат отличается от $\lim_{x\to 0}1/x$.

В RC-цепи напряжение на конденсаторе $V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/\tau})$, где $\tau > 0$. Вычислите $\lim_{t \to +\infty} V(t)$ и интерпретируйте результат физически.

Положение объекта $s(t) = t^2$ метров. Используя определение предела, вычислите мгновенную скорость $v(t) = \lim_{h \to 0}\dfrac{s(t+h)-s(t)}{h}$.

В фармакокинетике концентрация лекарства $C(t) = C_0 e^{-kt}$ с $k > 0$. Вычислите $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ и интерпретируйте результат.

В теории управления функция передачи системы первого порядка $H(s) = K/(s+1)$. Вычислите коэффициент усиления постоянного тока $\lim_{s \to 0} H(s)$ и скажите, что он представляет.

В моделях роста численности населения темп роста на душу населения убывает по $r(x) = (\ln x)/x$. Вычислите $\lim_{x \to +\infty} r(x)$ и интерпретируйте.

Ошибка усечения Тейлора удовлетворяет $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)-hf'(0)}{h^2}$. Для $f(x) = e^x$ вычислите этот предел и интерпретируйте.

Что представляет $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ когда предел существует? Дайте имя, геометрическую интерпретацию и физическую интерпретацию.

Строго докажите ε-δ методом, что $\lim_{x \to 3}(5x - 2) = 13$. Покажите набросок, выбор $\delta$ и формальное доказательство.

Докажите ε-δ методом, что $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$. Покажите, почему необходим $\min$ в выборе $\delta$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$.

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$.

Докажите ε-δ методом, что $\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{2}$. Покажите полную стратегию: набросок, ограничение, выбор $\delta$ и формальное доказательство.