v1 · padrão canônico

Lição 42 — Propriedades algébricas dos limites

Leis do limite (soma, produto, quociente, potência, raiz), substituição direta, formas indeterminadas 0/0 por fatoração e racionalização, e Teorema do Confronto.

Used in: 2.º ano do EM (16-17 anos) · Equiv. Math II japonês (極限の性質) · Equiv. Oberstufe Grenzwertregeln alemão

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \quad M \neq 0

Учебники, охватывающие этот урок

Boelkins — Active Calculus 2.0
· §1.2 The Notion of Limit + §1.4 Limit Laws · CC-BY-NC-SA · Деятельностный подход: студент открывает закономерности экспериментально перед формальной формулировкой.
Hartman et al. — APEX Calculus
· §1.3 Finding Limits Analytically · CC-BY-NC · Первичный источник упражнений: полная таблица законов, теорема сжатия с многоуровневыми примерами и задачами повышенной сложности.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §2.3 The Limit Laws · CC-BY-NC-SA · Строгие формулировки всех законов, примеры рационализации и пределы на бесконечности, упражнения на концептуальное понимание.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Операционные свойства и теорема сжатия

Пусть $\lim_{x \to a} f(x) = L$ и $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , где $L, M \in \mathbb{R}$ . Законы ниже справедливы при $x \to a$ , $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to \pm\infty$ .

Алгебраические законы пределов

Definition· Законы пределов (Boelkins §1.4 / OpenStax §2.3)

Закон	Утверждение	Ограничение
Сумма / разность	$\lim (f \pm g) = L \pm M$	нет
Умножение на константу	$\lim (c \cdot f) = cL$	$c \in \mathbb{R}$
Произведение	$\lim (f \cdot g) = L \cdot M$	нет
Частное	$\lim (f/g) = L/M$	$M \neq 0$
Степень	$\lim f^n = L^n$	$n \in \mathbb{N}$
Корень	$\lim \sqrt[n]{f} = \sqrt[n]{L}$	$L \geq 0$ если $n$ чётно
Модуль	$\lim \lvert f \rvert = \lvert L \rvert$	нет

"Если $\lim_{x\to a} f(x) = L$ и $\lim_{x\to a} g(x) = M$ , то $\lim_{x\to a}[f(x) + g(x)] = L + M$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.4

"Если $\lim_{x\to c} f(x) = L$ и $\lim_{x\to c} g(x) = K$ , то $\lim_{x\to c}[f(x) \cdot g(x)] = L \cdot K$ ." — APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.1

Композиция

Если $\lim_{x \to a} g(x) = b$ и $f$ непрерывна в $b$ , то: $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b) = f\!\left(\lim_{x \to a} g(x)\right).$

Контрпример без непрерывности. Возьмём $g(x) = 0$ (константу) и $f$ с разрывом в $0$ . Тогда $\lim g = 0$ , но $\lim f(g(x)) = f(0) \neq \lim_{t \to 0} f(t)$ .

Теорема сжатия

"Если $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ для всех $x \neq a$ в открытом интервале, содержащем $a$ , и $\lim_{x\to a} g(x) = L = \lim_{x\to a} h(x)$ , то $\lim_{x\to a} f(x) = L$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Theorem 2.7

Классическое применение. Для $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0$ : заметим, что $-1 \leq \sin(1/x) \leq 1$ , поэтому $-x^2 \leq x^2\sin(1/x) \leq x^2$ . Так как $\lim_{x \to 0}(\pm x^2) = 0$ , предел равен $0$ .

Неопределённые формы и методы их разрешения

Когда прямая подстановка даёт $0/0$ или $\infty/\infty$ , алгебраические свойства не применяются прямо:

Схема выбора метода по типу неопределённости.

Решённые примеры

Example— 1· Прямая подстановка в многочлене

Задача. Вычисли $\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$ .

Стратегия. Многочлены непрерывны всюду. Применяй свойство прямой подстановки.

Решение.

Проверь что функция непрерывна в $x = 3$ . Всякий многочлен непрерывен в $\mathbb{R}$ . Предел есть просто значение функции в $x = 3$ .
Подставь $x = 3$ : $\lim_{x \to 3}(2x^2 - 5x + 1) = 2(3)^2 - 5(3) + 1 = 18 - 15 + 1 = 4.$
Почему это работает. По алгебраическим законам: $\lim x^2 = 9$ (закон степени), $\lim 2x^2 = 18$ (умножение на константу), $\lim 5x = 15$ , $\lim 1 = 1$ (константа). Суммируя: $18 - 15 + 1 = 4$ .

Проверка. Для $x = 3{,}01$ : $2(3{,}01)^2 - 5(3{,}01) + 1 = 18{,}1202 - 15{,}05 + 1 = 4{,}0702 \approx 4$ . Согласуется.

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Неопределённая форма 0/0 разложением на множители

Задача. Вычисли $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Стратегия. Прямая подстановка даёт $0/0$ . Числитель есть разность квадратов — разложи и сократи общий множитель $(x - 2)$ .

Решение.

Попробуй прямую подстановку. $\dfrac{2^2 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$ — неопределённость. Алгебраическая манипуляция необходима.
Разложи числитель. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ .
Сократи общий множитель. Для $x \neq 2$ : $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.$
Вычисли предел. Применяй прямую подстановку: $\lim_{x \to 2}(x + 2) = 2 + 2 = 4.$

Проверка. Для $x = 2{,}01$ : $\dfrac{(2{,}01)^2 - 4}{2{,}01 - 2} = \dfrac{0{,}0401}{0{,}01} = 4{,}01 \approx 4$ . Согласуется.

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.17 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Неопределённая форма 0/0 рационализацией

Задача. Вычисли $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .

Стратегия. Подстановка даёт $0/0$ . Избавься от корня в числителе умножив на сопряжённое $(\sqrt{x+4} + 2)$ .

Решение.

Попробуй прямую подстановку. $\dfrac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \dfrac{0}{0}$ — неопределённость.
Умножь на сопряжённое. Для $x \neq 0$ : $\frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{(x+4) - 4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}.$
Сократи $x$ (справедливо так как $x \neq 0$ ): $= \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}.$
Применяй прямую подстановку: $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}.$

Проверка. Для $x = 0{,}01$ : $\dfrac{\sqrt{4{,}01} - 2}{0{,}01} \approx \dfrac{0{,}0025}{0{,}01} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$ . Согласуется.

Источник. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Теорема сжатия с осциллирующей функцией

Задача. Докажи что $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0$ .

Стратегия. Функция $\cos(1/x)$ осциллирует неограниченно когда $x \to 0$ — мы не можем вычислить её предел прямо. Но $|\cos(1/x)| \leq 1$ всегда. Используй сжатие.

Решение.

Установи границы. Для всякого $x \neq 0$ : $-1 \leq \cos(1/x) \leq 1.$
Умножь на $x^2 \geq 0$ (не инвертирует неравенства): $-x^2 \leq x^2 \cos(1/x) \leq x^2.$
Вычисли пределы границ: $\lim_{x \to 0}(-x^2) = 0 \quad \text{и} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$
Применяй теорему сжатия. Так как $f(x) = x^2 \cos(1/x)$ зажата между $-x^2$ и $x^2$ , обе с пределом $0$ : $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x) = 0. \quad \blacksquare$

Почему сжатие необходимо. Закон произведения требовал бы что $\lim_{x \to 0} \cos(1/x)$ существовал — но он не существует (осциллирует между $-1$ и $1$ ). Сжатие обходит эту трудность.

Источник. APEX Calculus, §1.3, Theorem 1.3.7 — CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Предел рациональной функции на бесконечности

Задача. Вычисли $\lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4}$ .

Стратегия. Форма $\infty/\infty$ — степени числителя и знаменателя обе $2$ . Раздели всё на $x^2$ чтобы выявить старшие коэффициенты.

Решение.

Определи степени. Числитель: степень 2. Знаменатель: степень 2. Форма $\infty/\infty$ .
Раздели числитель и знаменатель на $x^2$ : $\frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5x - 4} = \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2}.$
Вычисли каждый член. Когда $x \to \infty$ : $1/x \to 0$ и $1/x^2 \to 0$ .
Применяй алгебраические законы: $\lim_{x \to \infty} \frac{3 - 2/x + 1/x^2}{1 + 5/x - 4/x^2} = \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0 - 0} = 3.$

Общий результат. Когда степени равны, предел есть отношение старших коэффициентов.

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.20 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 29Understanding 7Modeling 2Challenge 1Proof 1

Ex. 42.1Application
Вычисли $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x - 1)$ .
Solve online
Ex. 42.2Application
Вычисли $\lim_{x \to 1}\sqrt{x^2 + 3}$ .
Solve online
Ex. 42.3ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 0}\dfrac{x + 1}{x^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 42.4Application
Вычисли $\lim_{x \to -1}(x^3 + 2x^2 - x + 4)$ .
Solve online
Ex. 42.5Application
Вычисли $\lim_{x \to 1}(x^3 + 2x^2 + 3x)$ .
Solve online
Ex. 42.6Application
Вычисли $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ .
Solve online
Ex. 42.7Application
Вычисли $\lim_{x \to -2}\dfrac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ .
Solve online
Ex. 42.8ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 1}\sqrt[3]{x^2 + 7}$ .
Solve online
Ex. 42.9Application
Вычисли $\lim_{x \to 2}(x^2 - 1)(3x + 2)$ .
Solve online
Ex. 42.10Application
Вычисли $\lim_{x \to 0}(2x + 3)^4$ .
Solve online
Ex. 42.11Application
Вычисли $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 42.12Application
Вычисли $\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2 + 2x}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.13Application
Вычисли $\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ .
Solve online
Ex. 42.14Application
Вычисли $\lim_{x \to 4}\dfrac{x^2 - 16}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 42.15Application
Вычисли $\lim_{x \to 5}\dfrac{x^2 - 3x - 10}{x - 5}$ .
Solve online
Ex. 42.16Application
Вычисли $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 + 2x - 15}{x - 3}$ .
Solve online
Ex. 42.17ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 2}\dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}$ .
Solve online
Ex. 42.18Application
Вычисли $\lim_{x \to 4}\dfrac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$ .
Solve online
Ex. 42.19ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ .
Solve online
Ex. 42.20ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.21ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.22Application
Вычисли $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.23Application
Вычисли $\lim_{x \to \infty}\dfrac{2x + 1}{x + 3}$ .
Solve online
Ex. 42.24Application
Вычисли $\lim_{x \to \infty}\dfrac{3x^2 - x + 2}{x^2 + 4}$ .
Solve online
Ex. 42.25Application
Вычисли $\lim_{x \to \infty}\dfrac{x + 5}{x^3 - 2}$ .
Solve online
Ex. 42.26ApplicationAnswer key
Вычисли $\lim_{x \to 7}\dfrac{x^2 - 5x - 14}{x - 7}$ .
Solve online
Ex. 42.27Application
Вычисли $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x)$ .
Solve online
Ex. 42.28Application
Вычисли $\lim_{x \to 0} x \cos(1/x)$ .
Solve online
Ex. 42.29Application
Вычисли $\lim_{x \to \infty}\dfrac{\sin x}{x}$ .
Solve online
Ex. 42.30Understanding
Для вычисления $\lim_{x \to 5}(3x^2 - x + 7)$ , достаточно ли подставить $x = 5$ прямо?
Solve online
Ex. 42.31UnderstandingAnswer key
Какое утверждение верно о законе частного пределов?
Solve online
Ex. 42.32UnderstandingAnswer key
Какой $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ , и почему закон произведения не применяется?
Solve online
Ex. 42.33Understanding
Что происходит когда мы пытаемся применить закон частного к $\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ прямо?
Solve online
Ex. 42.34Understanding
Какой метод наиболее подходящий для вычисления $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x)$ ?
Solve online
Ex. 42.35UnderstandingAnswer key
Что неопределённая форма $0/0$ указывает алгебраически о числителе и знаменателе?
Solve online
Ex. 42.36Understanding
Известно что $3 - x^2 \leq f(x) \leq 3 + x^2$ для всякого $x \neq 0$ . Определи $\lim_{x \to 0} f(x)$ и обоснуй.
Solve online
Ex. 42.37Modeling
В инженерии управления, функция передачи системы есть $H(s) = \dfrac{s + 2}{s^2 + 3s + 2}$ . Вычисли усиление постоянного тока: $\lim_{s \to 0} H(s)$ .
Solve online
Ex. 42.38Modeling
Положение частицы есть $s(t) = t^2$ метров. Вычисли мгновенную скорость в $t = 1$ : $\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{s(1 + \Delta t) - s(1)}{\Delta t}$ .
Solve online
Ex. 42.39Challenge
Вычисли $\lim_{x \to 0}\dfrac{\cos x - \cos 2x}{x^2}$ .
Solve online
Ex. 42.40Proof
Доказательство. Докажи через $\varepsilon$ - $\delta$ что $\lim_{x \to 0} 3x = 0$ , проверяя таким образом закон умножения на константу в этом частном случае.
Solve online

Источники

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · OpenStax · 2016 · §2.3 (The Limit Laws) и §2.4 (Continuity) · CC-BY-NC-SA 4.0. Первичный источник для упражнений на прямую подстановку, разложение, рационализацию и пределы на бесконечности.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §1.3 (Finding Limits Analytically) · CC-BY-NC 4.0. Первичный источник для упражнений теоремы сжатия и вызовов.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · §1.2 (The Notion of Limit) · CC-BY-NC-SA 4.0. Ссылка для концептуальной мотивации, деятельностей открытия и упражнения 42.36.

Операционные свойства и теорема сжатия

Алгебраические законы пределов

Свойство прямой подстановки

Композиция

Теорема сжатия

Неопределённые формы и методы их разрешения

Решённые примеры

Источники