v1 · padrão canônico

Lição 45 — Limites fundamentais do cálculo

Os cinco limites atômicos do cálculo: sin(x)/x, (1-cos x)/x, definição de e, (e^x-1)/x e ln(1+x)/x. Todo limite trigonométrico ou exponencial se reduz a esses cinco por manipulação algébrica.

Used in: 2.º ano EM (Trim. 5) · Equiv. Math II japonês (cap. 3 — limites especiais) · Equiv. Klasse 11 alemã (Grenzwerte trigonometrisch) · Equiv. H2 Math singapurense (Special limits)

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Livros que cobrem esta lição

OpenStax — Calculus Volume 1
· §2.3 Leis dos Limites · §3.5 Derivadas Trigonométricas · CC-BY-NC-SA 4.0 · Геометрическое доказательство sin(x)/x через теорему о сжатии; формальное доказательство LF1 с диаграммами единичной окружности.
APEX Calculus
· §1.3 Нахождение пределов аналитически · CC-BY-NC 4.0 · Упражнения по алгебраическим манипуляциям для сведения пределов к пяти фундаментальным; прогрессивная тренировка с вариантами каждого предела.
Boelkins — Active Calculus 2.0
· §2.2 Синус и косинус · §2.6 Производные обратных функций · CC-BY-NC-SA 4.0 · Связь между LF4 и производной e^x; упражнения по моделированию радиоактивного распада и непрерывной капитализации.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Строгое определение и доказательства

Пять атомарных пределов

Definition· Фундаментальные пределы анализа

Рассмотрим следующие пределы, все доказываемые без правила Лопиталя:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

(LF1)

what this means · Основной тригонометрический предел. Неопределённость 0/0. Доказывается сжатием с площадями круговых секторов.

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0

(LF2)

what this means · Следствие LF1 через тождество 1 - cos x = 2 sin²(x/2). Результат равен нулю, а не единице.

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828\ldots

(LF3)

what this means · Определяет число Эйлера e. Последовательность (1 + 1/n)^n возрастает и ограничена сверху числом 3.

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

(LF4)

what this means · Неопределённость 0/0. Утверждает, что производная e^x в точке x=0 равна 1. Следует из LF3 через подстановку.

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

(LF5)

what this means · Неопределённость 0/0. Следует из LF4 подстановкой y = ln(1+x).

Доказательство LF1 — Теорема о сжатии

"Теорема о сжатии (также называемая теоремой о сэндвиче) — это мощный инструмент для вычисления пределов функций, которые трудно оценить непосредственно." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.3

Доказательство $\lim_{x \to 0^+} \sin x / x = 1$ :

Рассмотрим единичную окружность. Для $x \in (0, \pi/2)$ сравним три площади:

Треугольник $OAP$ (вписанный): площадь $= \tfrac{1}{2}\sin x$ .
Круговой сектор $OAP$ : площадь $= \tfrac{1}{2}x$ .
Треугольник $OAT$ (описанный): площадь $= \tfrac{1}{2}\tan x$ .

Поскольку вписанный треугольник $\subset$ сектор $\subset$ описанный треугольник:

\frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x}{2}

what this means · Неравенство трёх площадей, справедливое для x в (0, pi/2).

Разделим на $\sin x / 2 > 0$ и возьмём обратные значения (неравенство переворачивается):

$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$

Когда $x \to 0^+$ : $\cos x \to 1$ и $1 \to 1$ . По теореме о сжатии, $\sin x / x \to 1$ .

По симметрии ( $\sin(-x)/(-x) = \sin x / x$ ) результат верен и для $x \to 0^-$ . ∎

Доказательство LF2

Используя тождество $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ :

$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x} = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(x/2)}{x/2}$

Когда $x \to 0$ : первый множитель $\to \sin 0 = 0$ , второй $\to 1$ (по LF1). Произведение $\to 0$ . ∎

Доказательство LF5

Пусть $y = \ln(1+x)$ , или $e^y = 1 + x$ , тогда $x = e^y - 1$ . Когда $x \to 0$ , имеем $y \to 0$ . Поэтому:

$\frac{\ln(1+x)}{x} = \frac{y}{e^y - 1} \xrightarrow{y \to 0} \frac{1}{1} = 1$

используя LF4 в знаменателе. ∎

Таблица важных вариантов

Предел	Значение	Следует из
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/x$	$k$	LF1
$\lim_{x \to 0} \sin(kx)/\sin(mx)$	$k/m$	LF1
$\lim_{x \to 0} \tan x / x$	$1$	LF1
$\lim_{x \to 0} (1 - \cos x)/x^2$	$1/2$	LF2
$\lim_{x \to 0} \arcsin x / x$	$1$	LF1 (обратная)
$\lim_{x \to 0} \arctan x / x$	$1$	LF1 (обратная)
$\lim_{x \to 0} (e^{kx} - 1)/x$	$k$	LF4
$\lim_{x \to 0} (a^x - 1)/x$	$\ln a$	LF4
$\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^x$	$e^a$	LF3
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x}$	$e$	LF3
$\lim_{x \to \infty} x^n e^{-x}$	$0$	относительный рост
$\lim_{x \to \infty} (\ln x)/x$	$0$	относительный рост

Примеры с решениями

Example— 1· Тригонометрический предел через сжатие

Задача: Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ .

Стратегия: Фундаментальный предел LF1 утверждает, что $\sin(u)/u \to 1$ когда $u \to 0$ . Нам нужно переписать выражение так, чтобы аргумент синуса совпадал со знаменателем.

Решение:

Определите аргумент: внутри синуса имеем $3x$ , но знаменатель $5x$ . Нам нужно создать отношение $\sin(3x)/(3x)$ .
Алгебраическая манипуляция: умножьте и разделите на $3$ :

$\frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot \frac{\sin(3x)}{3x}$

Применяйте LF1: когда $x \to 0$ , имеем $3x \to 0$ . Подстановкой $u = 3x$ :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$

Объедините:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}$

Проверка: Для $x = 0{,}001$ : $\sin(0{,}003)/0{,}005 \approx 0{,}002999.../0{,}005 \approx 0{,}5999...$ . Согласуется с $3/5 = 0{,}6$ .

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Example 2.21 — лицензия CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Предел с (1 - cos x) через тригонометрическое тождество

Задача: Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ .

Стратегия: Тождество $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ преобразует предел в произведение двух множителей, связанных с LF1.

Решение:

Применяйте тождество: $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ .
Переписываем предел:

$\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2(x/2)}{x^2}$

Создайте форму LF1: заметьте, что $x^2 = 4 \cdot (x/2)^2$ :

$\frac{\sin^2(x/2)}{x^2} = \frac{\sin^2(x/2)}{4(x/2)^2} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2$

Вычислите:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

Проверка: Для $x = 0{,}1$ : $(1 - \cos 0{,}1)/0{,}01 \approx 0{,}04998...$ , согласуется с $0{,}5$ .

Источник. APEX Calculus, §1.3, Example 1.3.4 — лицензия CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Определение e через сложные проценты

Задача: Вложение 1 реала приносит 100% годовых. Вычислите итоговую сумму при (a) годовом, (b) месячном, (c) ежедневном и (d) непрерывном начислении.

Стратегия: Сумма при $n$ начислениях в год равна $(1 + 1/n)^n$ . Когда $n \to \infty$ , это произведение сходится к $e$ .

Решение:

Начисление	$n$	$(1 + 1/n)^n$
Годовое	1	$2{,}000000$
Полугодовое	2	$2{,}250000$
Ежеквартальное	4	$2{,}441406$
Ежемесячное	12	$2{,}613035$
Ежедневное	365	$2{,}714567$
Ежечасное	8760	$2{,}718127$
Непрерывное	$\infty$	$e \approx 2{,}718282$

Разница между ежедневным и непрерывным начислением составляет всего 0,000001 реала на вложенный реал. Это оправдывает непрерывную модель $V(T) = V_0 e^{rT}$ как отличное приближение в финансовой практике.

Формализация: По LF3,

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §3.9 — лицензия CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Сведение составного предела к фундаментальному

Задача: Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x}$ .

Стратегия: Разложите выражение на отношения формы LF1. Используйте $\tan x = \sin x / \cos x$ для отделения известных множителей.

Решение:

Подставьте $\tan x$ :

$\frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = \frac{\sin(x^2)}{x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

Определите множители:

$= \underbrace{\frac{\sin(x^2)}{x^2}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{x}{\sin x}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\cos x}_{\to 1}$

Для первого множителя: $u = x^2 \to 0$ когда $x \to 0$ , поэтому $\sin(x^2)/x^2 \to 1$ .

Для второго: $x/\sin x = 1/(\sin x / x) \to 1$ .

Предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x \tan x} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Проверка: Для $x = 0{,}01$ : $\sin(0{,}0001)/(0{,}01 \cdot \tan 0{,}01) \approx 1{,}000...$ . Подтверждено.

Источник. APEX Calculus, §1.3, Exercises 1.3 — лицензия CC-BY-NC 4.0.

Example— 5· Неопределённость 1^∞ через подстановку

Задача: Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x$ .

Стратегия: Основание стремится к $1$ и экспонента к $\infty$ : неопределённость $1^\infty$ . Запишите $A^B = e^{B \ln A}$ и вычислите показатель отдельно.

Решение:

Переписываем как экспоненту:

$\left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \exp\!\left(x \ln\frac{x+3}{x-1}\right)$

Упростим аргумент логарифма:

$\ln\frac{x+3}{x-1} = \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right)$

Вычислите $x \ln(1 + 4/(x-1))$ : пусть $u = 4/(x-1)$ ; когда $x \to \infty$ , $u \to 0^+$ . Тогда $x - 1 = 4/u$ и $x = 4/u + 1$ :

$x \ln\!\left(1 + \frac{4}{x-1}\right) = \left(\frac{4}{u} + 1\right) \cdot u \cdot \frac{\ln(1+u)}{u} = (4 + u) \cdot \underbrace{\frac{\ln(1+u)}{u}}_{\to 1} \xrightarrow{u \to 0} 4$

Итоговый предел:

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = e^4$

Проверка: Для $x = 10^4$ : $((10^4 + 3)/(10^4 - 1))^{10^4} \approx e^4 \approx 54{,}598$ . Подтверждено.

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §2.3, Exercises — лицензия CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 4Modeling 7Challenge 1

Ex. 45.1Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$ . (Ответ: 3.)
Solve online
Ex. 45.2Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online
Ex. 45.3ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.4Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ . (Ответ: $1/2$ .)
Solve online
Ex. 45.5Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.6Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.7ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{1/x}$ . (Ответ: $e^3$ .)
Solve online
Ex. 45.8Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.9Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.10Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 5x)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.11Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3^x - 1}{x}$ . (Ответ: $\ln 3$ .)
Solve online
Ex. 45.12Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.13Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - 1}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.14Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.15Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.16Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x}$ .
Solve online
Ex. 45.17ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ . (Ответ: $0$ .)
Solve online
Ex. 45.18Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x$ .
Solve online
Ex. 45.19Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.20ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.21Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$ . (Ответ: $e^{-1/2}$ .)
Solve online
Ex. 45.22Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x$ .
Solve online
Ex. 45.23ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + \sin x)^{1/x}$ .
Solve online
Ex. 45.24ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 1} x^{1/(x-1)}$ .
Solve online
Ex. 45.25ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ .
Solve online
Ex. 45.26Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ .
Solve online
Ex. 45.27Application
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2}\right)$ . (Ответ: $-1/2$ .)
Solve online
Ex. 45.28ApplicationAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{1/x}$ .
Solve online
Ex. 45.29Modeling
Капитал 1000 реалов вложен под непрерывную ставку $5\%$ годовых в течение 10 лет. Вычислите итоговую сумму, используя $V = V_0 e^{rT}$ , что является $\displaystyle\lim_{n \to \infty} V_0\!\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nT}$ с $r = 0{,}05$ и $T = 10$ . (Используйте $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$ .)
Solve online
Ex. 45.30ModelingAnswer key
Радиоактивный изотоп имеет период полураспада 5 лет. Какая доля $N(12)/N_0$ остаётся после 12 лет? Используйте $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ с $\lambda = \ln 2 / 5$ . (Ответ: $\approx 0{,}188$ .)
Solve online
Ex. 45.31Modeling
Уравнение простого маятника это $\ddot{\theta} + (g/L)\sin\theta = 0$ . Математически оправдайте, почему верно заменять $\sin\theta$ на $\theta$ для малых колебаний, и вычислите относительную ошибку для $\theta = 10°$ .
Solve online
Ex. 45.32Modeling
В параксиальной оптике используют $\sin\theta \approx \theta$ и $\tan\theta \approx \theta$ . Вычислите относительную ошибку каждого приближения для $\theta = 5°$ и убедитесь, что обе ниже $0{,}5\%$ .
Solve online
Ex. 45.33Modeling
Редкие события: $n$ попыток с вероятностью $p = \lambda/n$ каждая. Покажите, что $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ стремится к распределению Пуассона $e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ когда $n \to \infty$ с фиксированным $\lambda$ . Какой фундаментальный предел используется?
Solve online
Ex. 45.34Modeling
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$ . (Ответ: $e^{-1/6}$ .)
Solve online
Ex. 45.35ModelingAnswer key
Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to \infty} x\bigl(\ln(x+1) - \ln x\bigr)$ .
Solve online
Ex. 45.36Understanding
Почему $\sin(x)/x$ не определена при $x = 0$ , но её предел при $x \to 0$ существует и равен $1$ ?
Solve online
Ex. 45.37Understanding
Какое необходимое условие для применения теоремы о сжатии?
Solve online
Ex. 45.38Understanding
Что определяет предел $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ , и как он связан с рядом $\sum_{k=0}^\infty 1/k!$ ?
Solve online
Ex. 45.39Understanding
Какова точная связь между $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1$ и производной $e^x$ ?
Solve online
Ex. 45.40Challenge
Вызов. Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ . (Ответ: $1/2$ .)
Solve online

Источники

OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · 2016 · CC-BY-NC-SA 4.0. Первичный источник. §2.3 (Законы пределов и теорема о сжатии), §3.5 (Производные тригонометрических функций — геометрическое доказательство sin(x)/x), §3.9 (Производные экспоненциальных и логарифмических функций — определение e через LF3).
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC 4.0. §1.3 (Нахождение пределов аналитически). Упражнения по алгебраическим манипуляциям, варианты LF1 и LF3, вызов тангенса минус синус.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA 4.0. §2.2 (Функции синус и косинус — моделирование маятника и радиоактивного распада), §2.6 (Производные обратных функций — пределы арксинуса и арктангенса). Упражнения по моделированию.