v1 · padrão canônico

Lição 46 — TVI e Taxa de Variação Média

Teorema do Valor Intermediário (existência de raízes, bisseção) e Taxa de Variação Média (inclinação da secante, ponte para a derivada).

Used in: 2.º ano do EM (cálculo intro) · Equiv. Math II japonês §5 · Equiv. Analysis/Klasse 11 alemã

\text{TVM}_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Книги, охватывающие этот урок

Boelkins — Active Calculus 2.0
· §1.1–1.3 Скорость, средняя скорость изменения и переход к пределу, порождающий производную · CC-BY-NC-SA · Первичный источник: действия открытия, касающиеся средней скорости и предельного перехода, который порождает производную.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §2.4 Непрерывность и ТВИ · CC-BY-NC-SA · Формальное определение ТВИ со следствиями, примеры трансцендентных уравнений и упражнения на локализацию корней.
REAMAT — Cálculo Numérico (UFRGS)
· §3.1 Метод бисекции · CC-BY 4.0 · Реализация на Python, анализ ошибок и примеры из внутренней доходности и корней инженерных уравнений.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Определения и теоремы

Теорема о промежуточном значении (ТВИ)

"Если $f$ непрерывна на $[a, b]$ и $k$ — любое значение между $f(a)$ и $f(b)$ , то существует по крайней мере одно число $c$ в $(a, b)$ такое, что $f(c) = k$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4, Theorem 2.13

Следствие (существование корня). Если $f \in C([a, b])$ и $f(a) \cdot f(b) < 0$ , то существует $c \in (a, b)$ с $f(c) = 0$ .

f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists\, c \in (a,b) : f(c) = 0

what this means · Отрицательное произведение эквивалентно противоположным знакам: f(a) и f(b) находятся по разные стороны от нуля, поэтому f должна пересечь ноль в какой-то внутренней точке.

Доказательство (набросок через полноту). Предположим $f(a) < 0 < f(b)$ . Определим $S = \{x \in [a, b] : f(x) < 0\}$ . Множество $S$ непусто ( $a \in S$ ) и ограничено сверху числом $b$ . По полноте $\mathbb{R}$ существует $c = \sup S \in [a, b]$ . По непрерывности $f$ , если $f(c) \neq 0$ , получается противоречие. Следовательно, $f(c) = 0$ . $\square$

Почему непрерывность необходима. Функция Хевисайда $H(x) = 0$ при $x < 0$ и $H(x) = 1$ при $x \geq 0$ удовлетворяет $H(-1) = 0$ и $H(1) = 1$ , но никогда не равна $1/2$ — потому что имеет скачок в $x = 0$ и не непрерывна там.

Метод бисекции

Для $f \in C([a, b])$ с $f(a)f(b) < 0$ бисекция локализует корень итеративно. На каждом шаге вычисляется середина и сохраняется половина, где $f$ меняет знак:

m_n = \frac{a_n + b_n}{2}, \qquad |c - m_n| \leq \frac{b - a}{2^{n+1}}

what this means · На каждой итерации середина m_n делит текущий интервал пополам. Ошибка уменьшается в два раза на каждом шаге — сходимость гарантирована и поддаётся количественной оценке.

Для точности $\varepsilon$ требуется $n \geq \lceil \log_2((b-a)/\varepsilon) \rceil - 1$ итераций.

Средняя скорость изменения (ССИ)

"Средняя скорость изменения $f$ на интервале $[a, b]$ равна $\text{AV}_{[a,b]} = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Геометрически средняя скорость изменения представляет наклон прямой, проходящей через точки $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$ ." — Active Calculus, §1.1, Definition 1.1.4

Запись с $h = b - a$ эквивалентна:

\text{ССИ} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \quad h = b - a \neq 0

what this means · Подставив b = a + h, ССИ выражается через приращение h. Когда h → 0, это выражение определяет производную — мгновенную скорость изменения.

Предельный переход. Если $f$ дифференцируема в $a$ :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Секущая соединяет (a, f(a)) и (b, f(b)). Её наклон — это ССИ. Когда b → a, секущая сходится к касательной в a, чей наклон — это f'(a).

Разобранные примеры

Example— 1· ТВИ — существование полиномиального корня

Задача. Покажи, что $f(x) = x^3 - x - 1$ имеет по крайней мере один корень на интервале $(1, 2)$ .

Стратегия. Проверить, что $f$ непрерывна (полином), и что $f(1)$ и $f(2)$ имеют противоположные знаки. Если да, ТВИ гарантирует существование.

Решение.

Непрерывность: $f(x) = x^3 - x - 1$ — полином, значит, непрерывна на $\mathbb{R}$ , в частности на $[1, 2]$ .
Вычисли крайние точки:

$f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 2^3 - 2 - 1 = 5 > 0$

Применй ТВИ: поскольку $f(1) < 0 < f(2)$ и $f$ непрерывна на $[1, 2]$ , по ТВИ существует $c \in (1, 2)$ такое, что $f(c) = 0$ .

Проверка. $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ и $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ . Корень подтвержден на $(1{,}3;\; 1{,}4)$ . Численно, $c \approx 1{,}3247$ .

Источник. Active Calculus §1.1, Example 1.1.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA. Адаптировано.

Example— 2· Бисекция — 4 итерации и анализ ошибок

Задача. Используй метод бисекции для приближённого нахождения корня $f(x) = x^3 - x - 1$ на $(1, 2)$ с 4 итерациями. Какова максимальная ошибка после этих итераций?

Стратегия. На каждом шаге вычислить середину $m$ , оценить $f(m)$ и сохранить половину, где знак меняется.

Решение.

Начальные данные: $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 5 > 0$ .

Итерация 1: $m_1 = (1 + 2)/2 = 1{,}5$ . $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$ . Новый интервал: $[1;\; 1{,}5]$ .

Итерация 2: $m_2 = (1 + 1{,}5)/2 = 1{,}25$ . $f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0$ . Новый интервал: $[1{,}25;\; 1{,}5]$ .

Итерация 3: $m_3 = (1{,}25 + 1{,}5)/2 = 1{,}375$ . $f(1{,}375) = 2{,}600 - 1{,}375 - 1 = 0{,}225 > 0$ . Новый интервал: $[1{,}25;\; 1{,}375]$ .

Итерация 4: $m_4 = (1{,}25 + 1{,}375)/2 = 1{,}3125$ . $f(1{,}3125) = 2{,}259 - 1{,}3125 - 1 = -0{,}053 < 0$ . Новый интервал: $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ .

Максимальная ошибка после 4 итераций:

$|c - m_4| \leq \frac{b - a}{2^4} = \frac{1}{16} = 0{,}0625$

Проверка. Середина $[1{,}3125;\; 1{,}375]$ — это $1{,}34375 \approx 1{,}34$ , с $f(1{,}34375) \approx -0{,}0059 < 0$ . Истинный корень $c \approx 1{,}3247$ находится на интервале — подтверждено.

Источник. REAMAT — Cálculo Numérico §3.1, Exemplo 3.1 — UFRGS · CC-BY 4.0.

Example— 3· ССИ — кинематика и средняя скорость

Задача. Положение (в метрах) частицы — это $s(t) = t^2 + 3t$ для $t$ в секундах. Вычисли ССИ $s$ на интервале $[1, 4]$ и интерпретируй.

Стратегия. Применить напрямую $\text{ССИ} = (s(4) - s(1))/(4 - 1)$ . Затем сравнить с $s'(t) = 2t + 3$ , чтобы найти момент, когда мгновенная скорость равна ССИ.

Решение.

Вычисли $s(1)$ и $s(4)$ :

$s(1) = 1 + 3 = 4 \text{ м}, \qquad s(4) = 16 + 12 = 28 \text{ м}$

Вычисли ССИ:

$\text{ССИ} = \frac{28 - 4}{4 - 1} = \frac{24}{3} = 8 \text{ м/с}$

Интерпретация: частица переместилась на 24 м за 3 с, со средней скоростью 8 м/с.
Связь с производной: $s'(t) = 2t + 3$ . Хотим $s'(c) = 8$ : $2c + 3 = 8 \Rightarrow c = 2{,}5 \in (1, 4)$ . Теорема о среднем значении для производной (Урок 56) формально гарантирует существование такого $c$ .

Проверка. $s'(1) = 5$ м/с, $s'(4) = 11$ м/с. ССИ в 8 м/с находится между мгновенными скоростями на концах — правильно.

Источник. Active Calculus §1.1, Preview Activity 1.1.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Алгебраическая ССИ и предельный переход

Задача. Для $f(x) = x^2$ вычисли ССИ на интервале $[2, 2+h]$ ( $h \neq 0$ ) и покажи, что происходит, когда $h \to 0$ .

Стратегия. Вычислить ССИ как функцию от $h$ , упростить алгебраически и взять предел — это раскроет $f'(2)$ .

Решение.

ССИ на $[2, 2+h]$ :

$\text{ССИ} = \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

Разверни $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ :

$\text{ССИ} = \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \quad (h \neq 0)$

Прими предел:

$\lim_{h \to 0}(4 + h) = 4 = f'(2)$

Проверка. Для $h = 1$ : ССИ $= 5$ . Для $h = 0{,}1$ : ССИ $= 4{,}1$ . Для $h = 0{,}01$ : ССИ $= 4{,}01$ . Секущая сходится к касательной в $(2, 4)$ с наклоном 4.

Источник. Active Calculus §1.3, Example 1.3.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· ССИ и ТВИ в комбинации — табличные данные

Задача. Положение (в км) транспортного средства как функция времени (в часах):

$t$ (ч)	0	0,5	1	1,5	2
$s(t)$ (км)	0	20	50	90	140

(a) Вычисли ССИ на каждом подинтервале 0,5 ч. (b) Вычисли общую ССИ на $[0, 2]$ . (c) Мгновенная скорость достигла 80 км/ч в какой-то момент маршрута?

Стратегия. Применить формулу ССИ на каждом интервале; для (c) использовать ТВИ, применённую к функции скорости.

Решение.

(a) ССИ на каждом подинтервале:

$\text{ССИ}_{[0;\, 0{,}5]} = \frac{20}{0{,}5} = 40 \text{ км/ч}, \quad \text{ССИ}_{[0{,}5;\, 1]} = \frac{30}{0{,}5} = 60 \text{ км/ч}$ $\text{ССИ}_{[1;\, 1{,}5]} = \frac{40}{0{,}5} = 80 \text{ км/ч}, \quad \text{ССИ}_{[1{,}5;\, 2]} = \frac{50}{0{,}5} = 100 \text{ км/ч}$

(b) Общая ССИ:

$\text{ССИ}_{[0;\, 2]} = \frac{140 - 0}{2} = 70 \text{ км/ч}$

(c) Скорость 80 км/ч. Предполагая $s$ дифференцируемой, скорость $v(t) = s'(t)$ непрерывна. По ССИ: $v$ в среднем 60 км/ч на $[0{,}5;\; 1]$ и 80 км/ч на $[1;\; 1{,}5]$ . По ТВИ, применённой к $v$ , существует по крайней мере один момент на $[0{,}5;\; 1{,}5]$ , где $v(t) = 80$ км/ч. Ответ: да.

Проверка. Средняя скорость на $[0{,}5;\; 1{,}5]$ — это $(90 - 20)/1 = 70$ км/ч $< 80$ км/ч, но скорость выросла с 60 до 100 км/ч на половинах — должна была пройти 80 км/ч внутри.

Источник. Active Calculus §1.1, Example 1.1.3 и Exercises 1.1.3–1.1.5 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 4Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 46.1Application
Покажи, используя ТВИ, что $f(x) = x^3 - x - 1$ имеет по крайней мере один вещественный корень на интервале $(1, 2)$ . Какое свойство $f$ необходимо? Обоснуй в шагах.
Solve online
Ex. 46.2Application
На каком интервале длины 1 функция $f(x) = x^3 - 2x - 5$ имеет корень, гарантируемый ТВИ? (Ответ: $(2, 3)$ .)
Solve online
Ex. 46.3Application
Имеет ли уравнение $\cos x = x$ решение на $(0, \pi/2)$ ? (Ответ: Да.)
Solve online
Ex. 46.4Application
Покажи, что уравнение $e^x + x = 3$ имеет решение на интервале $(0, 1)$ . Определи $f$ надлежащим образом, проверь непрерывность и применй ТВИ.
Solve online
Ex. 46.5ApplicationAnswer key
Гарантирует ли ТВИ корень $f(x) = x^5 + x^3 - 1$ на $(0, 1)$ ? (Ответ: Да.)
Solve online
Ex. 46.6Understanding
Каждый полином нечётной степени имеет по крайней мере один вещественный корень. Почему?
Solve online
Ex. 46.7Application
Покажи, что уравнение $\ln x = e^{-x}$ имеет решение на интервале $(1, e)$ .
Solve online
Ex. 46.8Understanding
Если $f(a)$ и $f(b)$ имеют одинаковый знак, можем ли мы заключить, что $f$ не имеет корня на $(a, b)$ ?
Solve online
Ex. 46.9ChallengeAnswer key
$f$ непрерывна на $[0, 1]$ с $f(0) = f(1)$ . Покажи, что существует $c \in [0, 1/2]$ с $f(c) = f(c + 1/2)$ . Подсказка: определи $g(x) = f(x) - f(x + 1/2)$ и применй ТВИ.
Solve online
Ex. 46.10ApplicationAnswer key
Применй ТВИ, чтобы показать, что $f(x) = x^4 - 2x - 1$ имеет по крайней мере один корень на каждом из интервалов $(-1, 0)$ и $(1, 2)$ .
Solve online
Ex. 46.11ApplicationAnswer key
Применй 1 итерацию бисекции к $f(x) = x^3 - x - 1$ на $[1, 2]$ . Каков новый интервал? (Ответ: $[1;\\; 1{,}5]$ .)
Solve online
Ex. 46.12ApplicationAnswer key
После 2-й итерации бисекции $f(x) = x^3 - x - 1$ на $[1, 2]$ , каков интервал? (Ответ: $[1{,}25;\\; 1{,}5]$ .)
Solve online
Ex. 46.13Application
Какова максимальная ошибка после 3 итераций бисекции на $[1, 2]$ ? (Ответ: $0{,}125$ .)
Solve online
Ex. 46.14Application
Сколько итераций бисекции на $[1, 2]$ необходимо, чтобы гарантировать ошибку меньше $10^{-5}$ ? Покажи расчёт. (Ответ: 17.)
Solve online
Ex. 46.15Modeling
Имеет ли уравнение $x \cdot 2^x = 1$ решение на интервале $(0, 1)$ ? (Ответ: Да.)
Solve online
Ex. 46.16ApplicationAnswer key
Сколько итераций бисекции на $[1, 2]$ гарантируют ошибку меньше $10^{-6}$ ? (Ответ: 20.)
Solve online
Ex. 46.17Challenge
Применй 4 итерации бисекции к $f(x) = \cos x - x$ на $[0, \pi/2]$ . Выполни расчёты на бумаге и напиши получившийся интервал на каждой итерации.
Solve online
Ex. 46.18Modeling
Внутренняя норма доходности (ВНД) проекта определяется как $\text{NPV}(r) = 0$ . Можно ли использовать ТВИ и бисекцию для её локализации?
Solve online
Ex. 46.19ApplicationAnswer key
Вычисли ССИ функции $f(x) = x^2 + 3$ на $[1, 4]$ . (Ответ: 5.)
Solve online
Ex. 46.20Application
Вычисли ССИ функции $f(x) = -x^2 + 4x$ на $[2, 4]$ . (Ответ: $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.21Application
Вычисли ССИ функции $f(x) = 2x^2 + 1$ на $[2, 4]$ . (Ответ: 12.)
Solve online
Ex. 46.22ApplicationAnswer key
Вычисли ССИ функции $f(x) = x^2$ на интервале $[2, 2+h]$ (с $h \neq 0$ ). (Ответ: $4 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.23Application
Вычисли ССИ функции $f(x) = x^2 + x$ на интервале $[0, h]$ с $h \neq 0$ . (Ответ: $1 + h$ .)
Solve online
Ex. 46.24Application
Вычисли ССИ функции $f(x) = \sqrt{x}$ на $[1, 3]$ . Оставь ответ в точной форме. (Ответ: $(\sqrt{3}-1)/2$ .)
Solve online
Ex. 46.25Application
Вычисли ССИ функции $f(x) = 1/x$ на $[1/2, 1]$ . (Ответ: $-2$ .)
Solve online
Ex. 46.26Application
Положение объекта — это $s(t) = 5t^2$ метров ( $t$ в секундах). Какова средняя скорость на интервале $[1, 4]$ с? (Ответ: 25 м/с.)
Solve online
Ex. 46.27Application
Вычисли ССИ функции $f(x) = x^2$ на интервале $[a, a+h]$ как функцию от $a$ и $h$ . Что происходит, когда $h \to 0$ ? (Ответ: $2a + h$ ; предел — это $f'(a) = 2a$ .)
Solve online
Ex. 46.28ApplicationAnswer key
Вычисли ССИ функции $f(x) = 1/x$ на интервале $[a, a+h]$ как функцию от $a$ и $h$ . (Ответ: $-1/(a(a+h))$ ; предел — это $-1/a^2$ .)
Solve online
Ex. 46.29Modeling
Положение частицы — это $s(t) = t^2 + t$ метров ( $t$ в секундах). Какова средняя скорость на интервале $[2, 5]$ с? (Ответ: 8 м/с.)
Solve online
Ex. 46.30Modeling
Температура города в 0 часов была $27\,^\circ$ C, а в 6 часов была $15\,^\circ$ C. Какова была средняя скорость изменения температуры за период? (Ответ: $-2\,^\circ$ C/ч.)
Solve online
Ex. 46.31Modeling
Функция затрат производства — это $C(q)$ (в R$). $C(100) = 1{.}000$ и $C(200) = 1{.}500$ . Какова средняя предельная стоимость производства между 100 и 200 единицами?
Solve online
Ex. 46.32Modeling
Высота объекта в свободном падении — это $h(t) = -4{,}9t^2 + 20$ метров. Какова средняя скорость на интервале $[0, 3]$ с? (Ответ: $-14{,}7$ м/с.)
Solve online
Ex. 46.33Modeling
Население города было 1.000.000 в 2020 году и 1.030.000 в 2030 году. Какова была средняя скорость изменения населения в год? (Ответ: 3.000 жителей/год.)
Solve online
Ex. 46.34Modeling
Для $s(t) = 5t^2$ м вычисли ССИ на интервале $[1, 1+h]$ как функцию от $h$ . Что происходит, когда $h \to 0$ ? (Ответ: $10 + 5h$ ; предел — это 10 м/с.)
Solve online
Ex. 46.35ModelingAnswer key
Акция была куплена за R$ 100 и продана за R$ 115 после 2 лет. Каков был общий процентный доход за период? (Ответ: 15%.)
Solve online
Ex. 46.36Challenge
Для $s(t) = t^2 + 3t$ ССИ на $[1, 4]$ равна 8 м/с. Вычисли $s'(t)$ и найди $c \in (1, 4)$ с $s'(c) = 8$ . Что предвещает этот результат?
Solve online
Ex. 46.37Modeling
Ежемесячный доход фирмы вырос с R$ 700 в январе до R$ 2.800 в июле (6 месяцев). Какова была средняя скорость изменения месячного дохода? (Ответ: R$ 350/месяц.)
Solve online
Ex. 46.38Understanding
Каково геометрическое значение средней скорости изменения $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ ?
Solve online
Ex. 46.39Understanding
Что ТВИ гарантирует о функции $f$ , непрерывной на $[a, b]$ ?
Solve online
Ex. 46.40Proof
Докажи формально, что производная $f'(a)$ — это предел средней скорости изменения, когда интервал $[a, b]$ сжимается в точку $a$ .
Solve online

Источники

Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Первичный источник. §1.1 (How Do We Measure Velocity?) и §1.3 (The Derivative at a Point) — основа Примеров 3, 4, 5, Блоков C, D и E.
OpenStax Calculus: Volume 1 — OpenStax · Rice University · 2016 · CC-BY-NC-SA. §2.4 (Continuity и ТВИ) — основа Примера 1 и Блоков A и E. §2.1 (A Preview of Calculus) — основа Блока D.
REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS · 2024 · CC-BY 4.0. §3.1 (Método da Bisseção) — основа Примера 2 и Блока B.
Basic Analysis I — Jiří Lebl · 2024 · CC-BY-SA. §3.3 — доказательство ТВИ через полноту $\mathbb{R}$ (Портал formal).