v1 · padrão canônico

Lição 51 — Derivada: definição via limite

Derivada como limite da taxa de variação média. Reta tangente. Diferenciabilidade implica continuidade, mas não vice-versa. Cálculo pela definição para funções elementares.

Used in: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II japonês (微分) · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis)

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Учебники, охватывающие этот урок

Boelkins — Active Calculus 2.0
· §1.3–1.4 и §1.7 · CC-BY-SA 4.0 · Лучший педагогический источник: управляемые упражнения о секущей→касательной, производная как функция и триада непрерывность–дифференцируемость–углы.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §3.1–3.2 · CC-BY-NC-SA 4.0 · Полное формальное определение, обозначения Лейбница/Лагранжа/Ньютона, обширные упражнения с вычислением по определению и физико-экономическими приложениями.
Hartman et al. — APEX Calculus
· §2.1 Instantaneous Rates of Change · CC-BY-NC 4.0 · Более формальный подход с полными доказательствами, касательная/нормаль, и таблица основных производных по определению.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Строгое определение и теоремы

Определение производной

"We say that a function $f$ is differentiable at $x = a$ whenever $f'(a)$ exists. […] The derivative measures the instantaneous rate of change of the function, as well as the slope of the tangent line to the function at the given point." — Boelkins, Active Calculus §1.3

"The derivative of a function $f(x)$ at a point $a$ in its domain, if it exists, is $f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.1

Эквивалентные обозначения

f'(x) \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dy}{dx} \;=\; Df(x) \;=\; \dot{f}(x)

what this means · Все обозначения ниже представляют одно и то же — производную f. Лейбниц (dy/dx), Лагранж (f'), Ньютон (точка над f) и оператор D наиболее часто используются.

Выражение $\frac{df}{dx}\Big|_{x=a}$ обозначает производную, вычисленную в точке $a$ .

От секущей к касательной — геометрия предела

Секущая прямая (оранжевая) проходит через точки (a, f(a)) и (a+h, f(a+h)). По мере того, как h → 0, секущая вращается до совпадения с касательной (золотой). Производная — это коэффициент наклона этого предела.

Касательная и нормаль

Если $f$ дифференцируема в $a$ :

Касательная в $(a, f(a))$ : $\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)$
Нормаль в $(a, f(a))$ (перпендикулярна касательной, если $f'(a) \neq 0$ ): $\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)$

Фундаментальная теорема о дифференцируемости

Theorem· Дифференцируемость влечёт непрерывность

Если $f$ дифференцируема в $a$ , то $f$ непрерывна в $a$ .

Доказательство. Запишем $f(a+h) - f(a) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} \cdot h$ . Когда $h \to 0$ , первый множитель стремится к $f'(a)$ (по гипотезе), а $h \to 0$ . Значит, $f(a+h) - f(a) \to f'(a) \cdot 0 = 0$ , то есть $\lim_{h \to 0} f(a+h) = f(a)$ . $\square$

Обратное утверждение ложно. Функция $f(x) = |x|$ непрерывна в $0$ , но не дифференцируема в $0$ (левая производная $-1$ , правая $+1$ различны).

"If $f$ is differentiable at $a$ , then $f$ is continuous at $a$ . […] The converse is not true, and a function can be continuous but fail to be differentiable at a point." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Точки недифференцируемости

Основные производные по определению

Функция $f(x)$	$f'(x)$
$c$ (константа)	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^n$ ( $n \in \mathbb{Z}$ )	$n x^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Решённые примеры

Example— 1· Производная $x^2$ по определению

Задача: Используя определение производной, найди $f'(x)$ для $f(x) = x^2$ .

Стратегия: Применяем непосредственно $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ и упрощаем алгебраически, чтобы исключить $h$ из знаменателя до взятия предела.

Решение:

Вычисли $f(a+h)$ : $f(a+h) = (a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$
Составь разностное отношение: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h}$
Сократи $h$ (допустимо, так как $h \neq 0$ в процессе предела): $\frac{2ah + h^2}{h} = \frac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$
Возьми предел: $f'(a) = \lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$

Так как $a$ произвольно, функция производной $f'(x) = 2x$ .

Проверка: В $x = 3$ , $f'(3) = 6$ . Касательная проходит через $(3, 9)$ с наклоном 6: $y = 6x - 9$ . Контрольная точка: $f(3{,}1) = 9{,}61$ и $y(3{,}1) = 6(3{,}1) - 9 = 9{,}6$ — касательная хорошо аппроксимирует график при малых $h$ . $\checkmark$

Источник. Active Calculus, §1.3, Activity 1.3.2 — лицензия CC-BY-SA 4.0.

Example— 2· Производная $1/x$ по определению

Задача: Найди $f'(a)$ для $f(x) = \dfrac{1}{x}$ , где $a \neq 0$ , используя определение.

Стратегия: Критический шаг — объединить дроби в числителе, что позволит сократить $h$ в знаменателе.

Решение:

Разностное отношение: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h}$
Объедини дроби в числителе (наименьший общий знаменатель $a(a+h)$ ): $= \frac{\dfrac{a - (a+h)}{a(a+h)}}{h} = \frac{-h}{h \cdot a(a+h)}$
Сократи $h$ : $= \frac{-1}{a(a+h)}$
Возьми предел $h \to 0$ : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = \frac{-1}{a \cdot a} = -\frac{1}{a^2}$

Результат: $(1/x)' = -1/x^2$ . Геометрически: гипербола $y = 1/x$ имеет касательную с отрицательным наклоном при всех $x \neq 0$ — функция всегда убывает в полуплоскостях $x > 0$ и $x < 0$ .

Проверка: При $a = 2$ : $f'(2) = -1/4$ . Касательная: $y - 1/2 = -\tfrac{1}{4}(x-2) \Rightarrow y = -x/4 + 1$ . При $x = 2{,}1$ : касательная даёт $0{,}475$ ; $f(2{,}1) = 1/2{,}1 \approx 0{,}476$ . $\checkmark$

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Example 3.6 — лицензия CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Уравнение касательной к $x^3$

Задача: Найди уравнение касательной к графику $f(x) = x^3$ в точке $x = 2$ .

Стратегия: Касательная имеет уравнение $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ . Нам нужны $f(a)$ и $f'(a)$ .

Решение:

Вычисли $f(2) = 2^3 = 8$ . Точка касания $(2, 8)$ .
Вычисли $f'(a)$ по определению: $\frac{(a+h)^3 - a^3}{h} = \frac{a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - a^3}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2$

$f'(a) = \lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$

Значит, $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ .

Уравнение касательной: $y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

Проверка: При $x = 2{,}1$ : $f(2{,}1) = (2{,}1)^3 = 9{,}261$ ; касательная: $y = 12(2{,}1) - 16 = 9{,}2$ . Абсолютная ошибка $0{,}061$ — растёт как $h^2$ , что ожидается для линейной аппроксимации. $\checkmark$

Источник. APEX Calculus, §2.1, Example 2.1.3 — лицензия CC-BY-NC 4.0.

Example— 4· Недифференцируемость: угол модуля

Задача: Исследуй, дифференцируема ли $f(x) = |x|$ в точке $x = 0$ .

Стратегия: Вычисли односторонние производные $f'_-(0)$ и $f'_+(0)$ отдельно. Если они различны, то $f$ не дифференцируема в $0$ .

Решение:

Правая односторонняя производная ( $h \to 0^+$ , тогда $h > 0$ , значит $|h| = h$ ): $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
Левая односторонняя производная ( $h \to 0^-$ , тогда $h < 0$ , значит $|h| = -h$ ): $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$
Вывод: $f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$ .

Так как односторонние производные различны, $f(x) = |x|$ не дифференцируема в $x = 0$ — граф имеет угол в начале. Заметим, что $f$ непрерывна в $0$ (так как $\lim_{x\to 0}|x| = 0 = |0|$ ), подтверждая, что непрерывность не влечёт дифференцируемость.

Проверка: График $|x|$ имеет наклон $+1$ для $x > 0$ и $-1$ для $x < 0$ . Не существует единственной касательной в $x = 0$ . $\checkmark$

Источник. Active Calculus, §1.7, Activity 1.7.3 — лицензия CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Предельные издержки — экономическое приложение

Задача: Компания производит $q$ единиц продукта с общей стоимостью $C(q) = q^2 + 30q + 500$ рублей. Вычисли предельные издержки при $q = 50$ единиц, используя определение производной, и интерпретируй результат.

Стратегия: Предельные издержки = $C'(q)$ , мгновенная скорость изменения стоимости относительно количества. Вычислим по определению и оценим при $q = 50$ .

Решение:

Разностное отношение: $\frac{C(q+h) - C(q)}{h} = \frac{(q+h)^2 + 30(q+h) + 500 - (q^2 + 30q + 500)}{h}$

$= \frac{q^2 + 2qh + h^2 + 30q + 30h + 500 - q^2 - 30q - 500}{h} = \frac{2qh + h^2 + 30h}{h}$

$= 2q + h + 30$

Возьми предел: $C'(q) = \lim_{h \to 0}(2q + h + 30) = 2q + 30$
Оцени при $q = 50$ : $C'(50) = 2(50) + 30 = 130 \text{ рублей}$

Интерпретация: При производстве 50 единиц каждая дополнительная единица стоит приблизительно 130 рублей. Заметим, что $C(51) - C(50) = (2601 + 1530 + 500) - (2500 + 1500 + 500) = 4631 - 4500 = 131$ рубль — предельные издержки недооценивают на 1 рубль (разница второго порядка по $h$ ).

Проверка: $C'(q) = 2q + 30 > 0$ для всех $q > 0$ : стоимости растут, как ожидается. При $q = 0$ : $C'(0) = 30$ — предельные издержки первой единицы 30 рублей. $\checkmark$

Источник. OpenStax Calculus Volume 1, §3.1, Applied Example — Marginal Cost — лицензия CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2Proof 1

Ex. 51.1Application
Вычисли $f'(3)$ для $f(x) = x^2$ , используя определение производной. (Ответ: $6$ .)
Solve online
Ex. 51.2Application
Вычисли $f'(a)$ для $f(x) = x^3$ , используя определение. (Ответ: $3a^2$ .)
Solve online
Ex. 51.3Application
Вычисли $f'(a)$ для $f(x) = c$ (вещественная константа) по определению. (Ответ: $0$ .)
Solve online
Ex. 51.4ApplicationAnswer key
Вычисли $f'(a)$ для $f(x) = mx + b$ (аффинная функция) по определению. (Ответ: $m$ .)
Solve online
Ex. 51.5Application
Вычисли $f'(2)$ для $f(x) = 2x^2 + 3x$ по определению. (Ответ: $11$ .)
Solve online
Ex. 51.6Application
Вычисли $f'(1)$ для $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ по определению. (Ответ: $-1$ .)
Solve online
Ex. 51.7Application
Вычисли функцию производной $f'(x)$ для $f(x) = 2x^2 - x + 3$ по определению. (Ответ: $4x - 1$ .)
Solve online
Ex. 51.8Application
Используй определение, чтобы вычислить $f'(a)$ для $f(x) = x^4$ . (Ответ: $4a^3$ .)
Solve online
Ex. 51.9ApplicationAnswer key
Вычисли $f'(0)$ для $f(x) = x^2 - x$ по определению. (Ответ: $-1$ .)
Solve online
Ex. 51.10ApplicationAnswer key
Вычисли $f'(a)$ для $f(x) = 2x^3 - 2x$ по определению. (Ответ: $6a^2 - 2$ .)
Solve online
Ex. 51.11Application
Вычисли $f'(2)$ для $f(x) = 1/x$ по определению. (Ответ: $-1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.12ApplicationAnswer key
Вычисли $f'(4)$ для $f(x) = \sqrt{x}$ по определению. (Ответ: $1/4$ .)
Solve online
Ex. 51.13ApplicationAnswer key
Вычисли $f'(1)$ для $f(x) = 1/x$ по определению и составь уравнение касательной при $x = 1$ . (Ответ: $f'(1) = -1$ ; касательная $y = -x + 2$ .)
Solve online
Ex. 51.14Application
Найди уравнение касательной к $y = x^2$ в точке $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.15ApplicationAnswer key
Найди уравнение касательной к $y = 1/x$ в точке $x = 1$ .
Solve online
Ex. 51.16Application
Для $f(x) = x^2 - 4x$ , при каком значении $x$ касательная горизонтальна? Найди также точку графика. (Ответ: $x = 2$ ; точка $(2, -4)$ .)
Solve online
Ex. 51.17Application
Вычисли $f'(9)$ для $f(x) = \sqrt{x}$ по определению. (Ответ: $1/6$ .)
Solve online
Ex. 51.18Application
Вычисли $f'(a)$ для $f(x) = 1/x^2$ по определению. (Ответ: $-2/a^3$ .)
Solve online
Ex. 51.19Application
Уравнение касательной к $y = x^3$ при $x = 2$ .
Solve online
Ex. 51.20ApplicationAnswer key
Найди уравнение нормали к $y = x^2$ в точке $x = 1$ . (Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ .)
Solve online
Ex. 51.21Understanding
Дифференцируема ли функция $f(x) = |x|$ в точке $x = 0$ ? Обоснуй, вычислив односторонние производные.
Solve online
Ex. 51.22Understanding
Дифференцируема ли функция $f(x) = x|x|$ в точке $x = 0$ ? (Ответ: да, $f'(0) = 0$ .)
Solve online
Ex. 51.23Understanding
Проанализируй $f(x) = \sqrt[3]{x}$ в $x = 0$ . Существует ли предел разностного отношения? (Ответ: $+\infty$ — вертикальная касательная.)
Solve online
Ex. 51.24UnderstandingAnswer key
Пусть $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}$ . Дифференцируема ли $f$ в $x = 1$ ? Вычисли односторонние производные. (Ответ: не дифференцируема; $f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1)$ .)
Solve online
Ex. 51.25Understanding
Пусть $f(x) = x^2\sin(1/x)$ для $x \neq 0$ и $f(0) = 0$ . Покажи, что $f'(0) = 0$ . (Ответ: используй теорему сжатия — $|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0$ .)
Solve online
Ex. 51.26Understanding
Пусть $f(x) = x\sin(1/x)$ для $x \neq 0$ и $f(0) = 0$ . Дифференцируема ли функция в $x = 0$ ?
Solve online
Ex. 51.27Understanding
Пусть $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$ . Вычисли $f'(0)$ через односторонние производные. (Ответ: $f'(0) = 0$ .)
Solve online
Ex. 51.28Understanding
Геометрически интерпретируй: что означают $f'(a) > 0$ , $f'(a) < 0$ и $f'(a) = 0$ ?
Solve online
Ex. 51.29Understanding
Какова правильная связь между дифференцируемостью и непрерывностью?
Solve online
Ex. 51.30Understanding
Объясни на численном примере, почему центральная разность $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ численно точнее, чем прямая разность $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
Solve online
Ex. 51.31ModelingAnswer key
Объект движется с положением $s(t) = 2t^2$ метров. Какова его мгновенная скорость при $t = 2$ с?
Solve online
Ex. 51.32Modeling
Положение $s(t) = t^2 + 5t$ метров. Вычисли мгновенную скорость при $t = 3$ с по определению производной. (Ответ: $11$ м/с.)
Solve online
Ex. 51.33Modeling
Стоимость $C(q) = q^2 + 30q + 500$ рублей. Каковы предельные издержки при $q = 50$ единиц?
Solve online
Ex. 51.34Modeling
Население $P(t) = 100 + 5t^2$ особей. Вычисли скорость роста при $t = 4$ лет по определению производной. (Ответ: $40$ особей/год.)
Solve online
Ex. 51.35Modeling
В машинном обучении функция потерь $L(\theta) = (\theta - 3)^2$ . Вычисли $L'(\theta)$ по определению и найди $\theta$ , которое минимизирует $L$ . (Ответ: $L'(\theta) = 2\theta - 6$ ; минимум при $\theta = 3$ .)
Solve online
Ex. 51.36Modeling
Электрический заряд $q(t) = t^2 + 2t$ кулонов. Ток $i(t) = q'(t)$ . Вычисли $i(2)$ .
Solve online
Ex. 51.37Modeling
Объём сферы $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ . Вычисли скорость изменения объёма по радиусу при $r = 2$ см. (Ответ: $16\pi$ см³/см. Бонус: свяжи результат с площадью поверхности.)
Solve online
Ex. 51.38Challenge
Определи $k$ так, чтобы $f(x) = x^2 + kx$ имела горизонтальную касательную в точке $x = -3/2$ . (Ответ: $k = 3$ .)
Solve online
Ex. 51.39ChallengeAnswer key
Доказать, что если $f$ чётная функция и дифференцируема в $x = 0$ , то $f'(0) = 0$ . (Подсказка: используй определение односторонних производных и свойство $f(-x) = f(x)$ .)
Solve online
Ex. 51.40Proof
Пусть $h(x) = f(x) + g(x)$ , где $f$ и $g$ дифференцируемы в $a$ . Используй определение производной, чтобы доказать $h'(a) = f'(a) + g'(a)$ (правило суммы).
Solve online

Источники

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Главы §1.1 (мгновенная скорость), §1.3 (производная в точке), §1.4 (производная как функция), §1.7 (пределы, непрерывность и дифференцируемость). Главный источник. Управляемые упражнения о секущей→касательной, геометрическая интерпретация и углы модуля.
Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman, Strang и др. · CC-BY-NC-SA 4.0. Главы §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Обширные упражнения с вычислением по определению и приложениями в физике, экономике и биологии.
APEX Calculus — Hartman и др. · 5-е изд. · CC-BY-NC 4.0. Глава §2.1 (Instantaneous Rates of Change). Формальный подход с примерами касательной и нормали, таблица основных производных по определению.