v1 · padrão canônico

Lição 52 — Regras de derivação

As regras algébricas de derivação — potência, constante múltipla, soma, produto, quociente — e as derivadas das funções elementares. Nunca mais limite na prática.

Used in: 2.º ano do EM (16 anos) · Equiv. AP Calculus AB Unit 2 · Equiv. Calculus I §3.3–3.5 · Equiv. Math III japonês cap. 3

(fg)' = f'g + fg'

Книги, охватывающие этот урок

Boelkins — Active Calculus
· §2.1–2.3 Элементарные правила, произведение и деление · CC-BY-NC-SA · Основной источник упражнений и доказательств; активный подход с вопросами перед ответами.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §3.3–3.5 Правила дифференцирования, скорости изменения, тригонометрические · CC-BY-NC-SA · Полная таблица элементарных функций и упражнения на применение с физическим контекстом.
Hartman et al. — APEX Calculus
· §2.3–2.4 Базовые правила и произведение/деление · CC-BY-NC · Классический стиль учебника, хорош для тех, кто хочет дополнительного формализма и пошаговых примеров.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Формальные определения и теоремы

Таблица производных элементарных функций

Definition· Производные элементарных функций

Пусть $f$ дифференцируема в $x$ . Производные ниже — прямые следствия определения через предел и считаются фундаментальными результатами:

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Условие
$c$ (константа)	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$e^x$	$e^x$	—
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0, a > 0, a \neq 1$

Операционные правила

Theorem· Правила дифференцирования (Лейбниц и Коши)

Пусть $f$ и $g$ — функции, дифференцируемые в $x$ , и $c \in \mathbb{R}$ — константа. Тогда:

(c)' = 0

(R1)

what this means · Константа: производная любого числового константа равна нулю, так как нет изменения.

(x^n)' = n x^{n-1}

(R2)

what this means · Правило степени: показатель спускается как коэффициент и уменьшается на 1. Действительно для любого действительного показателя.

(c f)' = c f'

(R3)

what this means · Постоянный множитель: константы проходят через производную без изменения.

(f \pm g)' = f' \pm g'

(R4)

what this means · Сумма и разность: производная распределяется над суммами и разностями.

(fg)' = f'g + fg'

(R5)

what this means · Правило произведения (Лейбниц): произведение порождает два члена. Каждый дифференцирует один из множителей, сохраняя другой неизменным.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g \neq 0

(R6)

what this means · Правило деления: числитель — f штрих g минус f g штрих; знаменатель — g в квадрате. Знак минуса в числителе критичен — не переворачивайте порядок.

"Если $f$ и $g$ — дифференцируемые функции, то производная произведения $(fg)'$ существует и дана формулой $f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ ." — Active Calculus §2.3

Доказательство правила произведения

Theorem· Доказательство правила произведения из определения

Пусть $h(x) = f(x) g(x)$ . По определению:

$h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)\,g(x + \Delta x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

Прибавьте и вычтите $f(x+\Delta x)\,g(x)$ в числителе:

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[f(x+\Delta x) - f(x)]\,g(x+\Delta x) + f(x)\,[g(x+\Delta x) - g(x)]}{\Delta x}$

Разделяя пределы и используя непрерывность $g$ (каждая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому $g(x + \Delta x) \to g(x)$ ):

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot g(x) + f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

$\blacksquare$

Решённые примеры

Example— 1· Производная полинома (прямое применение правил R2–R4)

Задача: Вычислите $f'(x)$ для $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .

Стратегия: Полином = сумма одночленов. Применяйте R4 (линейность), R2 (степень) и R1 (константа) почленно.

Решение:

$f'(x) = (4x^5)' - (3x^3)' + (7x)' - (2)'$

Применяя R3 (постоянный множитель) и R2 (степень):

$= 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0$

$= 20x^4 - 9x^2 + 7$

Проверка: Каждый показатель уменьшился на 1; каждый коэффициент умножился на исходный показатель. Константа $-2$ исчезла (R1). Правильно.

Источник. Active Calculus §2.1 Exercise 2.1.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Правило произведения — полином умножить на тригонометрическую

Задача: Вычислите $h'(x)$ для $h(x) = x^3 \sin x$ .

Стратегия: $h = f \cdot g$ с $f(x) = x^3$ и $g(x) = \sin x$ . Применяйте R5: $(fg)' = f'g + fg'$ .

Решение:

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Применяя R5:

$h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$

Разложенная форма (опционально): $h'(x) = x^2(3 \sin x + x \cos x)$

Проверка: Два члена (правильно для произведения). Первый: дифференцировал $x^3$ , сохранил $\sin x$ . Второй: сохранил $x^3$ , дифференцировал $\sin x$ . Оба правила применены правильно.

Источник. Active Calculus §2.3 Exercise 2.3.2 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Правило деления — рациональная функция

Задача: Вычислите $k'(x)$ для $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .

Стратегия: $k = f/g$ с $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = x - 3$ . Применяйте R6.

Решение:

$f'(x) = 2x$
$g'(x) = 1$

Применяя R6:

$k'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-3)^2}$

$= \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x-3)^2}$

Внимание: Числитель — $f'g - fg'$ , не $fg' - f'g$ . Минус не коммутативен — обратный порядок создаёт самую частую ошибку в этом правиле.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Example 3.28 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Произведение экспоненты с тригонометрической

Задача: Вычислите $p'(x)$ для $p(x) = e^x \cos x$ .

Стратегия: Произведение $f(x) = e^x$ и $g(x) = \cos x$ . Применяйте R5 с производными из таблицы.

Решение:

$f'(x) = e^x$ (замечательно: $e^x$ дифференцируется в себя)
$g'(x) = -\sin x$

Применяя R5:

$p'(x) = e^x \cos x + e^x \cdot (-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$

Проверка: При $x = 0$ : $p(0) = e^0 \cos 0 = 1$ и $p'(0) = e^0(\cos 0 - \sin 0) = 1 - 0 = 1$ . Касательная в $(0, 1)$ имеет наклон 1, что геометрически имеет смысл (функция возрастает с наклоном 1 в начале).

Источник. Active Calculus §2.2 Exercise 2.2.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Уравнение касательной прямой с критической точкой

Задача: Найдите уравнение касательной к кривой $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ в точке, где $x = 1$ .

Стратегия: (a) Вычислите $y(1)$ для получения точки касания. (b) Вычислите $y'(x)$ по правилу деления. (c) Оцените $y'(1)$ . (d) Напишите в форме точка-наклон.

Решение:

(a) Точка касания:

$y(1) = \frac{1}{1^2 + 1} = \frac{1}{2}$

Точка: $\left(1, \dfrac{1}{2}\right)$ .

(b) Производная по делению с $f = x$ и $g = x^2 + 1$ :

$y'(x) = \frac{f'g - fg'}{g^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$

(c) Угловой коэффициент при $x = 1$ :

$y'(1) = \frac{1 - 1}{(1+1)^2} = \frac{0}{4} = 0$

(d) Уравнение касательной:

$y - \frac{1}{2} = 0 \cdot (x - 1) \implies y = \frac{1}{2}$

Касательная при $x = 1$ горизонтальна — имеет смысл, так как $y = x/(x^2+1)$ имеет локальный максимум в этой точке (функция возрастает с $x=0$ до $x=1$ , затем убывает).

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1 §3.3 Exercise 176 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 1Proof 1

Ex. 52.1Application
Вычислите $(x^5)'$ .
Solve online
Ex. 52.2Application
Вычислите производную $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
Solve online
Ex. 52.3ApplicationAnswer key
Вычислите $(\sqrt{x})'$ . Подсказка: напишите как $x^{1/2}$ и применяйте R2.
Solve online
Ex. 52.4Application
Вычислите $\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.5ApplicationAnswer key
Вычислите $f'(x)$ для $f(x) = 4x^5 - 3x^3 + 7x - 2$ .
Solve online
Ex. 52.6Application
Вычислите $\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.7Application
Вычислите $f'(x)$ для $f(x) = x^2\sqrt{x} - x\sqrt{x}$ .
Solve online
Ex. 52.8Application
Вычислите $f'(x)$ для $f(x) = x^3 + 2x$ .
Solve online
Ex. 52.9Application
Вычислите $\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.10ApplicationAnswer key
Вычислите $g'(x)$ для $g(x) = 3x^4 - 3x^2$ .
Solve online
Ex. 52.11Application
Вычислите $(\sin x \cdot \cos x)'$ .
Solve online
Ex. 52.12ApplicationAnswer key
Вычислите $(x e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.13Application
Вычислите $(x \ln x)'$ .
Solve online
Ex. 52.14Application
Вычислите $(x^2 \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.15ApplicationAnswer key
Вычислите $(e^x \cos x)'$ .
Solve online
Ex. 52.16Application
Вычислите $(x^2 e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.17ApplicationAnswer key
Вычислите $(\tan x \cdot e^x)'$ .
Solve online
Ex. 52.18Application
Вычислите $(x \sin x)'$ .
Solve online
Ex. 52.19Application
Вычислите $(x^3 \ln x)'$ .
Solve online
Ex. 52.20Understanding
Обобщение правила произведения. Если $f$ , $g$ , $h$ — дифференцируемые функции, каков $(fgh)'$ ?
Solve online
Ex. 52.21Application
Вычислите $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)'$ для $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.22Application
Вычислите $\left(\dfrac{e^x}{x}\right)'$ для $x \neq 0$ .
Solve online
Ex. 52.23Application
Вычислите $\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.24Application
Вычислите $k'(x)$ для $k(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x \neq 3$ .
Solve online
Ex. 52.25Application
Вычислите $\left(\dfrac{3x^2 - x}{x^2 - 1}\right)'$ для $x \neq \pm 1$ .
Solve online
Ex. 52.26ApplicationAnswer key
Дифференцируйте $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ по правилу деления и покажите, что $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
Solve online
Ex. 52.27Application
Дифференцируйте $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ по правилу деления и покажите, что $(\sec x)' = \sec x \tan x$ .
Solve online
Ex. 52.28Application
Вычислите $\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)'$ .
Solve online
Ex. 52.29ModelingAnswer key
Найдите уравнение касательной к $f(x) = x^2 + 3x$ в точке $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.30ModelingAnswer key
В каких точках график $f(x) = x^3 - 3x$ имеет горизонтальную касательную?
Solve online
Ex. 52.31Modeling
Объект имеет позицию $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ метров ( $t$ в секундах). Вычислите $v(t)$ и $a(t)$ . Оцените при $t = 2$ и определите, когда объект стоит на месте.
Solve online
Ex. 52.32Modeling
Функция стоимости: $C(q) = 500 + 50q + 0{,}1q^2$ (реальные). Вычислите предельную стоимость $C'(q)$ и оцените при $q = 100$ .
Solve online
Ex. 52.33Modeling
Общая выручка: $R(q) = q(200 - q)$ . Вычислите предельную выручку $R'(q)$ и определите количество, которое максимизирует выручку.
Solve online
Ex. 52.34Modeling
Найдите касательную к $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ при $x = 1$ .
Solve online
Ex. 52.35Modeling
Для $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ определите: (a) скорость при $t = 2$ ; (b) когда объект стоит на месте.
Solve online
Ex. 52.36UnderstandingAnswer key
Определение ошибки. Ученик вычислил $(x^2 \cdot x^3)' = 2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ . Правильно или неправильно? Обоснуйте и исправьте если нужно.
Solve online
Ex. 52.37Understanding
Определите, какое правило дифференцирования применяется к $h(x) = \dfrac{e^x}{x^2}$ , применяйте его и упростите $h'(x)$ .
Solve online
Ex. 52.38Understanding
Концепция. Почему производная $e^x$ "особенная"? Объясните, что означает $(e^x)' = e^x$ в геометрическом и числовом смысле.
Solve online
Ex. 52.39Challenge
Вызов: произведение трёх функций. Докажите, что $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$ , применяя правило произведения дважды.
Solve online
Ex. 52.40Proof
Доказательство. Докажите правило произведения $(fg)' = f'g + fg'$ из определения производной через предел.
Solve online

Источники

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.1 (Элементарные правила), §2.2 (Синус и косинус), §2.3 (Произведение и деление). Основной источник. CC-BY-NC-SA.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.3 (Правила дифференцирования), §3.4 (Производные как скорости изменения), §3.5 (Производные тригонометрических). CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2023 · §2.3 (Базовые правила), §2.4 (Произведение и деление). CC-BY-NC.

Формальные определения и теоремы

Таблица производных элементарных функций

Операционные правила

Доказательство правила произведения

Касательная прямая

Решённые примеры

Источники