v1 · padrão canônico

Lição 53 — Regra da cadeia

Derivada de função composta: se y = f(g(x)), então dy/dx = f'(g(x))·g'(x). A regra mais usada em todo o cálculo aplicado.

Used in: 2.º ano EM (16 anos) · Equiv. Math II/III japonês §微分 · Equiv. Klasse 11 alemã Abitur

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Книги, охватывающие этот урок

Boelkins — Active Calculus
· §2.5 The chain rule · CC-BY-NC-SA · Первичный источник упражнений; деятельностный подход (предполагайте, проверяйте, обобщайте). Упражнения 2.5.1–2.5.23 используются непосредственно в этом уроке.
OpenStax — Calculus Volume 1
· §3.6 The chain rule · CC-BY-NC-SA · Примеры 3.46–3.51 с нотацией Лейбница и сложные тригонометрические случаи. Строгое доказательство через вспомогательную функцию Q(y).
Hartman et al. — APEX Calculus
· §2.5 The chain rule · CC-BY-NC · Таблица правил для композиций (§2.5 Key Idea), тройные композиции и комбинации произведения и цепи. Упражнения 2.5.7–2.5.22 дополняют блок D.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Определение и теория

Формальное утверждение

Definition· Правило цепи

Пусть $g$ дифференцируема в $x$ и $f$ дифференцируема в $g(x)$ . Тогда составная функция $h(x) = f(g(x))$ дифференцируема в $x$ и:

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

(RC)

what this means · Производная композиции равна произведению производной внешней функции (вычисленной в точке внутренней функции) на производную внутренней функции. Вычисляйте снаружи внутрь.

В нотации Лейбница, определив $u = g(x)$ и $y = f(u)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

(RC-Leibniz)

what this means · Нотация Лейбница делает правило наглядно мнемоничным: единицы du 'сокращаются' формально, как в дроби.

"Правило цепи утверждает, что производная $f(g(x))$ равна $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ . То есть мы дифференцируем внешнюю функцию $f$ , вычисленную на внутреннюю функцию $g(x)$ , и умножаем на производную внутренней функции." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.6

"Думайте о процессе снаружи внутрь: определите внешнюю функцию, продифференцируйте её, оставляя внутреннюю функцию без изменений, затем умножьте на производную внутренней функции." — Boelkins, Active Calculus §2.5

Строгое доказательство

Трудность состоит в том, что $g(x+h) - g(x)$ может быть нулём при $h \neq 0$ , что делает наивный аргумент о сокращении $\Delta g$ неправомерным. Решение использует вспомогательную функцию:

$Q(y) = \begin{cases} \dfrac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & y \neq g(a) \\ f'(g(a)) & y = g(a) \end{cases}$

$Q$ непрерывна в $g(a)$ (по дифференцируемости $f$ ). Поскольку $f(g(a+h)) - f(g(a)) = Q(g(a+h)) \cdot [g(a+h) - g(a)]$ , разделив на $h$ и переходя $h \to 0$ , получаем $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \cdot g'(a)$ .

Важнейшие частные случаи

Составная функция	Производная
$[g(x)]^n$	$n\,[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$
$\sin(g(x))$	$\cos(g(x)) \cdot g'(x)$
$\cos(g(x))$	$-\sin(g(x)) \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$g'(x)/g(x)$
$\sqrt{g(x)}$	$g'(x) / (2\sqrt{g(x)})$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \ln a \cdot g'(x)$

Тройная композиция

Для $h(x) = f(g(k(x)))$ :

(f \circ g \circ k)'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x)

(tripla)

what this means · Правило цепи обобщается: мы перемножаем производные каждого слоя, всегда снаружи внутрь.

Диаграмма композиции

Поток композиции: вход x обрабатывается g для генерации u, затем f для генерации y. Полная скорость dy/dx — произведение отдельных скоростей.

Примеры с решениями

Example— 1· Обобщённое степенное правило — композиция с полиномом

Задача: вычислите производную $h(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Стратегия: функция $h$ — это композиция: внешняя функция $u^5$ , внутренняя функция $u = x^2 + 1$ . Применяем правило цепи, явно определяя каждый слой.

Решение:

Определите слои:
- Внешняя функция: $f(u) = u^5$
- Внутренняя функция: $g(x) = x^2 + 1$
Производная внешнего слоя: $f'(u) = 5u^4$ . Вычисленная в $g(x)$ : $f'(g(x)) = 5(x^2+1)^4$ .
Производная внутреннего слоя: $g'(x) = 2x$ .
Применить цепь: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Проверка: при $x = 0$ : $h(0) = 1^5 = 1$ , $h'(0) = 10 \cdot 0 \cdot 1 = 0$ . Функция имеет минимум в $x = 0$ (смещённая парабола, возведённая в 5-ю степень), что согласуется с $h'(0) = 0$ .

Источник. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Правило цепи с экспонентой и тригонометрией

Задача: вычислите производную $f(x) = e^{\sin x}$ .

Стратегия: композиция с экспонентой. Формула $\frac{d}{dx}[e^{g(x)}] = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ — прямой частный случай цепи.

Решение:

Внешний слой: $f(u) = e^u$ , производная $e^u$ .
Внутренний слой: $g(x) = \sin x$ , производная $\cos x$ .
Результат: $f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$

Интерпретация: производная меняет знак всякий раз, когда $\cos x = 0$ , то есть в $x = \pi/2 + k\pi$ . На максимумах $\sin x$ производная обращается в нуль — поскольку $\cos(\pi/2) = 0$ .

Источник. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6 — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Правило цепи с натуральным логарифмом

Задача: вычислите производную $g(x) = \ln(3x^2 + 5)$ .

Стратегия: композиция с логарифмом. Формула $\frac{d}{dx}[\ln(g(x))] = \frac{g'(x)}{g(x)}$ — прямой частный случай.

Решение:

Внешний слой: $f(u) = \ln u$ , производная $1/u$ . Вычисленная в $g(x)$ : $\dfrac{1}{3x^2 + 5}$ .
Внутренний слой: $g(x) = 3x^2 + 5$ , производная $g'(x) = 6x$ .
Результат: $g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 5} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Проверка: для больших $x$ : $g'(x) \approx \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x} \to 0$ . Имеет смысл: логарифм растёт всё медленнее.

Источник. Active Calculus §2.5 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Тройная композиция — вложенная цепь

Задача: вычислите производную $h(x) = \sin(e^{x^2})$ .

Стратегия: три вложенных слоя. Применяем правило цепи снаружи внутрь, слой за слоем.

Решение:

Запишите слои явно:

Слой 1 (самый внешний): $f_1(u) = \sin u$ , производная $\cos u$
Слой 2 (промежуточный): $f_2(v) = e^v$ , производная $e^v$
Слой 3 (самый внутренний): $f_3(x) = x^2$ , производная $2x$

Применяя правило цепи снаружи внутрь:

$h'(x) = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$

Проверка: при $x = 0$ : $h'(0) = \cos(1) \cdot 1 \cdot 0 = 0$ . Можно проверить численно: $h(0{,}001) - h(0) \approx 0$ .

Источник. OpenStax Calculus Volume 1 §3.6, Example 3.47 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Цепь в сочетании с правилом произведения

Задача: вычислите производную $f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}$ .

Стратегия: произведение двух функций, одна из них составная. Применяем сначала правило произведения, затем цепь во втором множителе.

Решение:

Определите два множителя:

$u(x) = x^2$ , производная $u'(x) = 2x$
$v(x) = e^{-x^2}$ , производная через цепь: $v'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}$

Применяя правило произведения $[u \cdot v]' = u' v + u v'$ :

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (-2x e^{-x^2}) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$

Вынесите $2x e^{-x^2}$ :

$f'(x) = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$

Интерпретация: критические точки — $x = 0$ и $x = \pm 1$ . Эта функция появляется в нормальном распределении: множитель $(1-x^2)$ определяет экстремумы в $x = \pm 1$ .

Источник. Active Calculus §2.5, Activity 2.5.3 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 4Modeling 6Challenge 3Proof 1

Ex. 53.1Application
Вычислите $\dfrac{d}{dx}[(2x+3)^5]$ .
Solve online
Ex. 53.2ApplicationAnswer key
Вычислите $(\sin(4x))'$ .
Solve online
Ex. 53.3Application
Вычислите $(e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.4Application
Вычислите $(\ln(x^2 + 1))'$ .
Solve online
Ex. 53.5Application
Вычислите $(\sqrt{x^2+1})'$ .
Solve online
Ex. 53.6Application
Вычислите $(\cos^2 x)'$ .
Solve online
Ex. 53.7Application
Вычислите $(\tan(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.8Application
Вычислите $(\sin(\cos x))'$ .
Solve online
Ex. 53.9Application
Вычислите $(e^{\sin x})'$ .
Solve online
Ex. 53.10Application
Вычислите $((\ln x)^3)'$ .
Solve online
Ex. 53.11Application
Вычислите $(\sqrt{1-x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.12Application
Вычислите $\left(\dfrac{1}{x^2+4}\right)'$ .
Solve online
Ex. 53.13ApplicationAnswer key
Вычислите $(2^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.14ApplicationAnswer key
Вычислите $(\sin^3(2x))'$ .
Solve online
Ex. 53.15ApplicationAnswer key
Вычислите $(\arctan(x^2))'$ . (Ответ: $2x/(1+x^4)$ .)
Solve online
Ex. 53.16Application
Вычислите $(\ln(\sin x))'$ .
Solve online
Ex. 53.17Application
Вычислите $(e^{\cos(2x)})'$ .
Solve online
Ex. 53.18Application
Вычислите $(\sqrt{\tan x})'$ .
Solve online
Ex. 53.19Application
Вычислите $(\sin(\sqrt{x}))'$ .
Solve online
Ex. 53.20Application
Вычислите $((3x+5)^{10})'$ .
Solve online
Ex. 53.21ApplicationAnswer key
Вычислите $(\cos(3x^2+2))'$ .
Solve online
Ex. 53.22Application
Вычислите $(\ln(\ln x))'$ .
Solve online
Ex. 53.23Application
Вычислите $(x \cdot \sin(x^2))'$ .
Solve online
Ex. 53.24ApplicationAnswer key
Вычислите $(x \cdot e^{x^2})'$ .
Solve online
Ex. 53.25Application
Вычислите $(\sin(\sqrt{x^2+1}))'$ .
Solve online
Ex. 53.26ApplicationAnswer key
Вычислите $(\tan^2(3x))'$ .
Solve online
Ex. 53.27Understanding
Найдите уравнение касательной к кривой $y = (x^2+1)^3$ в точке $x = 1$ . (Ответ: $y = 24x - 16$ .)
Solve online
Ex. 53.28Understanding
Анализ ошибки. Студент пишет $(e^{x^2})' = xe^{x^2}$ . Какова конкретная допущенная ошибка?
Solve online
Ex. 53.29UnderstandingAnswer key
Концептуально. Для дифференцирования $\sin(x^2)$ какое правило применяется? Почему не правило произведения?
Solve online
Ex. 53.30Understanding
Вычислите $(e^{e^x})'$ .
Solve online
Ex. 53.31Modeling
Физика. Положение частицы в простом гармоническом движении $s(t) = \sin(\omega t)$ . Вычислите ускорение $s''(t)$ и покажите, что $s''(t) = -\omega^2 s(t)$ .
Solve online
Ex. 53.32Modeling
Ядерная физика. Радиоактивный распад подчиняется $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Вычислите $N'(t)$ и покажите, что $N'(t) = -\lambda N(t)$ .
Solve online
Ex. 53.33Modeling
Биология. Логистический рост $P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-rt}}$ . Вычислите $P'(0)$ .
Solve online
Ex. 53.34Modeling
Статистика. Вычислите $f'(x)$ для стандартной нормальной плотности $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .
Solve online
Ex. 53.35ModelingAnswer key
Финансы. Текущая стоимость потока платежей $S$ , дисконтированная под ставку $r$ , равна $V(t) = S\,e^{-rt}$ . Вычислите $dV/dt$ и интерпретируйте результат.
Solve online
Ex. 53.36Modeling
Физика. Кинетическая энергия $E(v) = \tfrac{1}{2}mv^2$ и скорость $v(t) = at$ . Вычислите $dE/dt$ через правило цепи и проверьте прямой производной.
Solve online
Ex. 53.37Challenge
Вычислите $(\sin(\cos(\sin x)))'$ .
Solve online
Ex. 53.38ChallengeAnswer key
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\left[(x + \sqrt{x^2+1})^n\right]$ .
Solve online
Ex. 53.39Challenge
Вычислите $(\sin(e^{x^2}))'$ .
Solve online
Ex. 53.40Proof
Доказательство. Объясните, почему наивный аргумент $\frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{h}$ не работает как строгое доказательство правила цепи. Как вспомогательная функция $Q(y)$ решает проблему?
Solve online

Источники

Active Calculus 2.0 — Boelkins, Austin, Schlicker · 2024 · §2.5. Первичный источник. CC-BY-NC-SA.
Calculus Volume 1 — OpenStax (Herman et al.) · 2016 · §3.6. CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.5. CC-BY-NC.