Lição 54 — Derivada implícita

Для окружности $x^2 + y^2 = 1$ найдите $dy/dx$.

Для эллипса $x^2/4 + y^2/9 = 1$ вычислите $dy/dx$.

Для $xy = 1$ найдите $dy/dx$ неявным дифференцированием. Проверьте, что совпадает с дифференцированием $y = 1/x$ явно.

Для гиперболы $x^2/9 - y^2/16 = 1$ вычислите $dy/dx$.

Для $x^3 + y^3 = 6xy$ вычислите $dy/dx$.

Для $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$ вычислите $dy/dx$.

Для $x^2 y + xy^2 = 6$ вычислите $dy/dx$.

Для $\tan y = x$ вычислите $dy/dx$. Интерпретируйте результат как производную $\arctan x$.

Для $e^y = xy$ вычислите $dy/dx$.

Для $\ln(xy) = x + y$ вычислите $dy/dx$.

Для $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ вычислите $dy/dx$ и оцените в точке $(1, 9)$.

Для $\cos(x + y) = y$ вычислите $dy/dx$.

Для $\sin(xy) = x$ вычислите $dy/dx$.

Для $y^3 + 3y = x$ вычислите $dy/dx$ и обсудите, существует ли производная во всех точках.

Найдите касательную к окружности $x^2 + y^2 = 25$ в точке $(3, 4)$.

Для эллипса $x^2 + 4y^2 = 16$ найдите касательную в точке $(2, \sqrt{3})$.

Для $x^2 + xy + y^2 = 7$ найдите касательную в $(1, 2)$.

Для $x^3 + y^3 = 9$ найдите касательную в $(1, 2)$.

Для $y\sin x = x\cos y$ вычислите $dy/dx$.

Для окружности $x^2 + y^2 = 1$ определите все точки горизонтальной и вертикальной касательной.

Для листа Декарта $x^3 + y^3 = 3xy$ вычислите $dy/dx$ и определите точки горизонтальной касательной.

Для листа Декарта $x^3 + y^3 = 3xy$ найдите касательную в точке $(3/2, 3/2)$.

Закон идеального газа говорит $PV = nRT$. Сохраняя $T$ постоянным, используйте неявное дифференцирование для поиска $dP/dV$.

Для кривой $y^2 + xy = 12$ определите, существуют ли точки горизонтальной или вертикальной касательной.

В микроэкономике кривая безразличия $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ описывает комбинации двух товаров, оставляющие потребителя безразличным. Используя неявное дифференцирование, найдите $dx_2/dx_1$ — предельную норму замещения.

Для лемнискаты $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$ вычислите $dy/dx$ в точке $(\sqrt{3}/2, 1/2)$.

Используйте логарифмическую производную для поиска $y'$, если $y = x^x$ ($x > 0$).

Используйте логарифмическую производную для поиска $y'$, если $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$). Оцените в $x = \pi$.

Для $x^2 + y^2 = r^2$ найдите $d^2y/dx^2$ в терминах $x$, $y$ и $r$. Интерпретируйте знак $y''$ для $y > 0$.

Для эллипса $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ вычислите $dy/dx$ и $d^2y/dx^2$.

Почему условие $F_y \neq 0$ необходимо для применения теоремы о неявной функции?

Каково основное преимущество неявного дифференцирования перед выражением $y$ и явным дифференцированием?

Используйте неявное дифференцирование для демонстрации того, что касательная к окружности $x^2 + y^2 = r^2$ всегда перпендикулярна радиусу в точке касания.

Для кривой $F(x,y)=0$ объясните, в каких условиях касательная существует, возможно вертикальна, и когда точка сингулярна.

Проверьте, что неявное дифференцирование $x^2 + y^2 = r^2$ даёт тот же результат, что явное дифференцирование $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$.

При неявном дифференцировании $e^{xy} = x + y$ по $x$, чему равна $\frac{d}{dx}[e^y]$? Почему это не просто $e^y$?

Для кривой $x^4 + y^4 = 1$ найдите все точки горизонтальной и вертикальной касательной.

Для эллипса $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ вычислите $y''$ неявно и упростите, используя уравнение эллипса. (Отв: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$.)

Для $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$ вычислите $dy/dx$ в $(0, 0)$. Объясните, почему точка сингулярна для прямой формулы.

Доказательство. Докажите, что $(x^a)' = ax^{a-1}$ для произвольного $a \in \mathbb{R}$ ($x > 0$), используя $x^a = e^{a\ln x}$ и правило цепи. Объясните, почему доказательство охватывает случай $a$ иррационального.