Lição 55 — Derivadas de ordem superior

Пусть $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$. Вычислите $f'(x)$ и $f''(x)$.

Пусть $f(x) = x^5 - 3x^2 + x + 2$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = \sin x$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = \cos(2x)$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = \ln x$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = xe^x$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = x^2 \ln x$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Вычислите $f'''(x)$.

Пусть $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Вычислите $f''(0)$.

Пусть $f(x) = \sqrt{x}$. Вычислите $f''(x)$.

Пусть $f(x) = \cos(2x)$. Вычислите $f^{(4)}(x)$.

Пусть $f(x) = x^4$. Вычислите $f^{(5)}(x)$.

Пусть $f(x) = e^{2x}$. Определите $f^{(n)}(x)$ для всех $n \geq 1$.

Определите $(\sin x)^{(100)}$.

Пусть $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Определите общую формулу $f^{(n)}(x)$.

Для $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$, определите точки перегиба и интервалы вогнутости.

Для $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, определите интервалы вогнутости и точку перегиба.

Для $f(x) = e^{-x^2}$, вычислите $f''(0)$.

Для $f(x) = x^5 - 5x^4$, определите точки перегиба.

Если $f''(c) = 0$, можем ли мы заключить, что $c$ — точка перегиба $f$?

Если $f'(c) = 0$ и $f''(c) > 0$, что заключить о $c$?

Определите вогнутость $f(x) = e^x$ на всей области.

Анализируйте вогнутость $f(x) = x^3$ и определите точку перегиба.

Для $f(x) = x^4 - 6x^2$, определите интервалы вогнутости и точки перегиба.

Объясните, почему $(\sin x)^{(4)} = \sin x$ и почему $(e^x)^{(n)} = e^x$ для всех $n \geq 0$.

Выведите формулу $(fg)''$ из правила произведения и определите аналогию с биномом Ньютона.

Пусть $f(x) = (1 + x)^{10}$. Вычислите $f^{(10)}(0)$.

Положение частицы: $s(t) = 4t^3 - t^4$ (метры, $t$ в секундах). Вычислите $v(1)$, $a(1)$ и $j(1)$, и интерпретируйте $j(1) = 0$.

Маятник: $\theta(t) = A\cos(\omega t)$. Вычислите $\ddot{\theta}$ и проверьте $\ddot{\theta} + \omega^2\theta = 0$.

Стоимость производства: $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q$ (R$ тыс.). Вычислите $C''(q)$ и интерпретируйте точку перегиба как "минимальная предельная стоимость".

Положение транспортного средства: $s(t) = 10t^3 - 30t^2 + 5$ (метры). Вычислите $v(t)$, $a(t)$, $j(t)$ и определите, когда ускорение равно нулю.

Высота снаряда: $h(t) = -4{,}9t^2 + v_0 t + h_0$. Вычислите $h''(t)$ и определите его физический смысл.

В механической системе потенциальная энергия $U(\theta)$ имеет критическую точку в $\theta_0$. Что $U''(\theta_0) > 0$ против $U''(\theta_0) < 0$ говорит об устойчивости равновесия?

Используя три первые производные $f(x) = e^x$ в $a = 0$, напишите полином Тейлора $T_2(x)$ и оцените ошибку для $x = 0{,}1$.

Напишите полином Тейлора степени 2 для $f(x) = \cos x$ около $a = 0$ и проверьте для $x = 0{,}1$.

Вычислите $f^{(n)}(x)$ для $f(x) = \ln(1+x)$ и напишите полином Тейлора $T_n(x)$ около $a = 0$.

Для $f(x) = x^x$ ($x > 0$), вычислите $f''(x)$ используя логарифмическую производную.

Сформулируйте правило Лейбница $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$ и опишите структуру аргумента по индукции, который его доказывает.

Доказательство. Пусть $f$ дважды дифференцируема на $[0, 1]$, с $f(0) = f(1) = 0$ и $f' \not\equiv 0$. Существует ли $c \in (0, 1)$ с $f''(c) = 0$? Обоснуйте.

Доказательство. Докажите, что если $f$ дважды дифференцируема и $f''(x) \geq 0$ на $(a, b)$, то $f$ выпукла на $(a, b)$.