Lição 81 — Antiderivada e integral indefinida

Вычислить $\int x^4\, dx$.

Вычислить $\int x^7\, dx$.

Вычислить $\int \frac{1}{x^3}\, dx$.

Вычислить $\int \sqrt{x}\, dx$.

Вычислить $\int e^x\, dx$.

Вычислить $\int \cos x\, dx$.

Вычислить $\int \sin x\, dx$.

Вычислить $\int \sec^2 x\, dx$.

Вычислить $\int (5x^2 - 3x + 2)\, dx$.

Вычислить $\int (7x^3 + 2\sin x - e^x)\, dx$.

Вычислить $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$.

Вычислить $\int \frac{3x^2 - x}{x}\, dx$ для $x \neq 0$.

Вычислить $\int (x+1)^2\, dx$ (раскрыть перед интегрированием).

Вычислить $\int \frac{4}{x^2}\, dx$.

Вычислить $\int \frac{1}{x}\, dx$.

Вычислить $\int (2e^x + 3\cos x)\, dx$.

Вычислить $\int \sqrt{x}(x + 1)\, dx$.

Вычислить $\int \frac{1}{1+x^2}\, dx$.

Вычислить $\int \left(\frac{4}{x} + 2e^x - \cos x\right) dx$.

Вычислить $\int \frac{x^3 - 4x + 1}{x^2}\, dx$ для $x > 0$.

Вычислить $\int \tan^2 x\, dx$ используя тождество $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.

Мяч бросают вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с с земли. Используя $a(t) = -9{,}8\ \text{м/с}^2$ и начальные условия $v(0) = 20$ и $h(0) = 0$, найти $v(t)$ и $h(t)$, и вычислить максимальную высоту.

Инвестиционный портфель имеет темп роста $r(t) = 800 + 50t$ реалов в месяц (где $t$ — количество месяцев). Зная, что начальная стоимость R$ 5 000, написать $V(t)$ и вычислить стоимость через 6 месяцев.

Какова общая первообразная функции $f(x) = x^2 - 4x$?

Какова правильная первообразная функции $f(x) = 1/x$?

Найти $F(x)$ такую, что $F'(x) = 3x^2 - 5$ и $F(1) = 2$.

Найти $F(x)$ такую, что $F'(x) = \cos x$ и $F(0) = 3$.

Объект имеет скорость $v(t) = 2t - 1$ м/с и начальное положение $s(0) = 4$ м. Найти $s(t)$ и вычислить положение при $t = 3$ с.

Найти $F(x)$ такую, что $F'(x) = e^x + 1$ и $F(0) = 5$.

Вычислить $\int (2x+1)^2\, dx$ раскрыв перед интегрированием.

Автомобиль начинает с покоя ($v(0) = 0$, $s(0) = 0$) с ускорением $a(t) = -6t + 12\ \text{м/с}^2$. Найти $v(t)$ и $s(t)$, и вычислить положение при $t = 4$ с.

Вычислить $\int (5\sin x - 3\cos x + 2)\, dx$.

Вычислить $\int \cos^2 x\, dx$ используя тождество $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$.

Вычислить $\int \frac{x^4 - 1}{x^2 + 1}\, dx$ упростив подынтегральное выражение.

Вычислить $\int \sin^2 x\, dx$ используя формулу двойного угла.

Показать, что на интервале $I$ две первообразные одной и той же функции $f$ отличаются на константу.