v1 · padrão canônico

Lição 82 — Integral definida e área orientada

Soma de Riemann como limite. Integral definida como área orientada sob o gráfico. Propriedades: linearidade, aditividade, monotonicidade. Teorema do Valor Médio Integral.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

Книги, охватывающие этот материал

Active Calculus — Boelkins
· §4.2 Riemann Sums · CC-BY-NC-SA · Интуитивное построение сумм Римана слева, справа и по средней точке; интерактивные графические упражнения.
APEX Calculus — Hartman et al.
· §5.2–5.3 The Definite Integral · CC-BY-NC · Формальное определение интеграла Римана, свойства, численные примеры.
OpenStax Calculus Volume 1
· §5.2 The Definite Integral · CC-BY-NC-SA · Критерий интегрируемости, полный набор свойств, примеры с положительными и отрицательными функциями.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Строгое определение

Сумма Римана

Definition· Интеграл Римана

Пусть $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ ограничена. Разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ — это набор $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . Нормой разбиения называется $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ , где $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Выбирая точки отсчёта $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , сумма Римана определяется как:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

Функция $f$ интегрируема на $[a,b]$ , если существует предел $L$ такой, что для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ со свойством $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ при $\|P\| < \delta$ , независимо от выбора точек $x_i^*$ . Обозначается $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"Определённый интеграл формально является пределом сумм Римана, когда норма разбиения стремится к нулю." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Суммы Дарбу

Эквивалентное определение через нижнюю и верхнюю суммы:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

Функция $f$ интегрируема $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Критерий интегрируемости

Свойства

Definition· Свойства определённого интеграла

Для интегрируемых $f$ , $g$ на $[a, b]$ и $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ с $a \leq c \leq b$ :

Линейность: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Аддитивность: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Обращение пределов: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Нулевой интеграл: $\int_a^a f = 0$
Монотонность: $f \leq g$ на $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Неравенство треугольника: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Шесть прямоугольников Римана приближают интеграл. По мере $n \to \infty$ и $\|P\| \to 0$ сумма сходится к точной площади.

Теорема о среднем значении для интегралов

Решённые примеры

Example— 1· Сумма Римана с n = 4 (базовый уровень)

Задача. Приблизьте $\int_0^2 x^2\, dx$ используя правую сумму Римана с $n = 4$ подынтервалами.

Стратегия. Разделите $[0, 2]$ на 4 части, возьмите правую точку каждой части, вычислите сумму.

Решение. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Правые точки: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = (f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(Точное значение по основной теореме анализа: $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . Правая сумма переоценила, так как $x^2$ растёт.)

Проверка. Сумма с большим $n$ сходится к $8/3$ — подтверждает, что $3{,}75$ — верхняя приблизительная оценка.

Источник. APEX Calculus, §5.2, Пример 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Геометрическая интерпретация интеграла с отрицательной функцией (базовый уровень)

Задача. Интерпретируйте геометрически $\int_0^\pi \sin x\, dx$ и $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Стратегия. $\sin x \geq 0$ на $[0, \pi]$ и $\sin x \leq 0$ на $[\pi, 2\pi]$ . Определённый интеграл измеряет ориентированную площадь.

Решение.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (площадь над осью: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (площадь под осью: вклад $-2$ ).

Таким образом $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . Геометрическая площадь — $2 + 2 = 4$ , а интеграл — нулевой.

Проверка. Аддитивность: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Верно.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Пример 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Применение свойств без вычисления (средний уровень)

Задача. Зная, что $\int_0^4 f(x)\, dx = 7$ и $\int_0^4 g(x)\, dx = 3$ , вычислите $\int_0^4 (2f(x) - 5g(x))\, dx$ .

Стратегия. Используйте линейность определённого интеграла.

Решение. $\int_0^4 (2f - 5g)\, dx = 2\int_0^4 f\, dx - 5\int_0^4 g\, dx = 2(7) - 5(3) = 14 - 15 = -1.$

Проверка. Линейность точна — приближений нет.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Пример 5.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Оценка через границы (средний уровень)

Задача. Покажите, что $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Стратегия. Используйте монотонность: ограничьте $\sqrt{x+1}$ на $[0, 2]$ сверху и снизу.

Решение. На $[0, 2]$ : минимум $\sqrt{x+1}$ в $x = 0$ равен $\sqrt{1} = 1$ ; максимум в $x = 2$ равен $\sqrt{3}$ .

По монотонности: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , то есть $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Проверка. Точное значение по основной теореме анализа: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , что находится между 2 и $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Верно.

Источник. Active Calculus, §4.2, Упражнение 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Среднее значение непрерывной функции (сложный уровень)

Задача. Вычислите среднее значение $f(x) = x^2$ на интервале $[1, 4]$ .

Стратегия. Используйте формулу среднего значения: $f_{\text{сред}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Решение. $f_{\text{сред}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

По теореме о среднем значении существует $c \in (1, 4)$ такое, что $f(c) = 7$ , то есть $c^2 = 7$ , откуда $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Верно.

Проверка. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ лежит внутри интервала $(1, 4)$ , как гарантирует теорема о среднем значении. Верно.

Источник. APEX Calculus, §5.3, Пример 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Приблизьте $\int_0^4 x^2\, dx$ используя правую сумму Римана с $n = 4$ и $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.2Application
Приблизьте $\int_0^4 x^2\, dx$ используя левую сумму Римана с $n = 4$ и $\Delta x = 1$ .
Solve online
Ex. 82.3Application
Вычислите $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.4Application
Вычислите $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Вычислите $\int_0^\pi \cos x\, dx$ и интерпретируйте результат геометрически.
Solve online
Ex. 82.6Application
Вычислите $\int_0^1 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.7Application
Вычислите $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.8Application
Вычислите $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.9Application
Вычислите $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.10Application
Вычислите $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.11Application
Зная, что $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ и $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , вычислите $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Зная, что $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ и $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , вычислите $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.13Application
Если $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , чему равна $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Вычислите $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.15Application
Вычислите $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.16Understanding
Без вычисления определите знак $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.17Understanding
Какое утверждение о $\int_a^b f(x)\, dx$ верно?
Solve online
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Транспортное средство имеет скорость $v(t) = 3t^2 + 2$ м/с. Какое расстояние оно проходит от $t = 0$ до $t = 4$ с?
Solve online
Ex. 82.19ModelingAnswer key
Температура промышленного реактора варьируется как $T(t) = 2t + 1$ °C в течение первых 6 часов работы. Вычислите среднюю температуру за этот период.
Solve online
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Зная, что $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ и $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , вычислите $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.21Application
Вычислите $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.22Application
Вычислите $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.23Modeling
Вычислите геометрическую площадь (всегда положительную) между $y = \sin x$ и осью $x$ на $[0, 2\pi]$ .
Solve online
Ex. 82.24Challenge
Используйте свойство монотонности, чтобы установить верхнюю и нижнюю границы для $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , без вычисления.
Solve online
Ex. 82.25Challenge
Вычислите среднее значение $f(x) = \sin x$ на $[0, \pi]$ и найдите значение $c$ , гарантированное теоремой о среднем значении.
Solve online
Ex. 82.26Application
Вычислите $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.27Application
Вычислите $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 82.28Challenge
Установите границы для $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ , а затем вычислите точное значение.
Solve online
Ex. 82.29ModelingAnswer key
Переменная сила $F(x) = 10 - 2x$ Н действует на объект, который смещается с $x = 0$ до $x = 3$ м. Вычислите проделанную работу ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
Solve online
Ex. 82.30Proof
Докажите свойство обращения пределов: $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .
Solve online

Источники

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Интуитивное построение сумм Римана, интерактивные упражнения.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Формальное определение, свойства, численные примеры.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Критерий интегрируемости, полный набор свойств, примеры с положительными и отрицательными функциями.