v1 · padrão canônico

Lição 83 — Teorema Fundamental do Cálculo

TFC Parte 1 e Parte 2. A ponte entre derivada e integral. Regra de Leibniz para limites variáveis. Newton e Leibniz, séc. XVII.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a), \quad F'(x) = f(x)

Учебники, которые охватывают этот урок

Active Calculus — Boelkins
· §4.4 The Fundamental Theorem of Calculus · CC-BY-NC-SA · Мотивация на основе скорости и перемещения; управляемое исследование обеих частей ФТИ.
APEX Calculus — Hartman et al.
· §5.4 The Fundamental Theorem of Calculus · CC-BY-NC · Доказательства ФТИ-1 и ФТИ-2, правило Лейбница, упражнения с переменными пределами.
OpenStax Calculus Volume 1
· §5.3 The Fundamental Theorem of Calculus · CC-BY-NC-SA · Исторический контекст (Ньютон/Лейбниц), примеры дифференцирования интегралов с переменными пределами.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Формулировка и доказательства

ФТИ — Часть 1: дифференцирование интеграла

"ФТИ-1 утверждает, что производная функции, определённой интегралом с переменным верхним пределом, равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем пределе." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3

Доказательство ФТИ-1. По определению производной:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{G(x+h) - G(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t)\, dt.$

По теореме о среднем значении для интеграла существует $c_h$ между $x$ и $x+h$ такая, что $\int_x^{x+h} f(t)\, dt = f(c_h) \cdot h$ . Следовательно:

$G'(x) = \lim_{h \to 0} f(c_h).$

Так как $c_h \to x$ при $h \to 0$ и $f$ непрерывна, то $f(c_h) \to f(x)$ . Поэтому $G'(x) = f(x)$ . $\square$

ФТИ — Часть 2: вычисление интеграла

Доказательство ФТИ-2. По ФТИ-1 функция $G(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ удовлетворяет $G' = f$ . Так как $F' = f$ также, то $F - G$ имеет нулевую производную на $(a, b)$ , следовательно $F(x) = G(x) + C$ для некоторой константы $C$ . Тогда:

$F(b) - F(a) = [G(b) + C] - [G(a) + C] = G(b) - G(a) = \int_a^b f - 0 = \int_a^b f. \quad \square$

Правило Лейбница (переменные пределы)

Решённые примеры

Example— 1· ФТИ-2 применённая к полиному (базовый)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx$ .

Стратегия. Найти первообразную по ФТИ-2: $F(x)$ такую, что $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Затем $F(3) - F(1)$ .

Решение. $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 - x.$

$\int_1^3 (x^2 + 2x - 1)\, dx = F(3) - F(1) = \left(9 + 9 - 3\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 1\right) = 15 - \frac{1}{3} = \frac{44}{3}.$

Проверка. $F'(x) = x^2 + 2x - 1$ . Верно.

Источник. APEX Calculus, §5.4, Пример 5.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 2· ФТИ-2 с тригонометрическими функциями (базовый)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int_0^{\pi/2} (\cos x + 2\sin x)\, dx$ .

Стратегия. Первообразные $\cos x$ и $\sin x$ из таблицы; вычислить на концах.

Решение. $F(x) = \sin x - 2\cos x.$

$\int_0^{\pi/2} (\cos x + 2\sin x)\, dx = F(\pi/2) - F(0) = (1 - 0) - (0 - 2) = 1 + 2 = 3.$

Проверка. $F'(x) = \cos x + 2\sin x$ . Верно.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Пример 5.22 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· ФТИ-1 для дифференцирования интеграла (средний уровень)

Задача. Вычислите $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt$ .

Стратегия. ФТИ-1 в сочетании с цепным правилом: верхний предел — это $v(x) = x^3$ .

Решение. $\frac{d}{dx}\int_1^{x^3} \cos(t^2)\, dt = \cos((x^3)^2) \cdot (x^3)' = \cos(x^6) \cdot 3x^2.$

Проверка. Общее правило Лейбница: $\frac{d}{dx}\int_a^{v(x)} f(t)\, dt = f(v(x)) \cdot v'(x)$ . Применённое с $f(t) = \cos(t^2)$ , $v(x) = x^3$ : $\cos(x^6) \cdot 3x^2$ . Верно.

Источник. APEX Calculus, §5.4, Пример 5.4.5 — CC-BY-NC.

Example— 4· Правило Лейбница с обоими пределами переменными (средний уровень)

Задача. Вычислите $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt$ для $x > 0$ .

Стратегия. Общее правило Лейбница: $f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x)$ с $v(x) = x^2$ , $u(x) = x$ , $f(t) = 1/t$ .

Решение. $\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \frac{1}{x^2} \cdot 2x - \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}.$

Проверка. Альтернативно: $\int_x^{x^2} \frac{1}{t}\, dt = \ln(x^2) - \ln x = 2\ln x - \ln x = \ln x$ . Дифференцируя: $(\ln x)' = 1/x$ . Верно.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.3, Упражнение 5.132 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Площадь между кривой и осью с изменением знака (вызов)

Задача. Вычислите общую геометрическую площадь между $y = x^2 - 4$ и осью $x$ на $[-3, 3]$ .

Стратегия. Функция $f(x) = x^2 - 4$ отрицательна на $(-2, 2)$ и положительна вне этого интервала. Разделите отрезок на нули для суммирования площадей с правильными знаками.

Решение. Нули: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

На $[-3, -2]$ и $[2, 3]$ : $f \geq 0$ . На $[-2, 2]$ : $f \leq 0$ .

$A = \int_{-3}^{-2}(x^2-4)\, dx + \left|\int_{-2}^{2}(x^2-4)\, dx\right| + \int_2^3(x^2-4)\, dx.$

$F(x) = x^3/3 - 4x$ .

$F(-2) - F(-3) = (-8/3 + 8) - (-9 + 12) = 16/3 - 3 = 7/3$ .
$F(2) - F(-2) = (8/3 - 8) - (-8/3 + 8) = -32/3$ . Абсолютное значение: $32/3$ .
$F(3) - F(2) = (9 - 12) - (8/3 - 8) = -3 + 16/3 = 7/3$ .

Общая площадь: $7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3$ .

Проверка. Интеграл $\int_{-3}^3 (x^2 - 4)\, dx = F(3) - F(-3) = (9-12) - (-9+12) = -3 - 3 = -6 \neq 46/3$ . Определённый интеграл отличается от геометрической площади, когда $f$ меняет знак.

Источник. Active Calculus, §4.4, Упражнение 4.4.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 3Challenge 4Proof 1

Ex. 83.1Application
Вычислите $\int_0^3 2x\, dx$ по ФТИ-2.
Solve online
Ex. 83.2Application
Вычислите $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.3Application
Вычислите $\int_0^\pi \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.4Application
Вычислите $\int_0^2 e^x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.5Application
Вычислите $\int_0^2 (x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.6Application
Вычислите $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.7Application
Если $G(x) = \int_0^x (t^2 + 1)\, dt$ , вычислите $G'(x)$ по ФТИ-1.
Solve online
Ex. 83.8Application
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2} \sin t\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.9Application
Вычислите $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.10Application
Вычислите $\int_1^9 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.11Application
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^3} \sqrt{1 + t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.12Application
Вычислите $\int_0^\pi (\cos x + \sin x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.13Application
Вычислите $\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.14UnderstandingAnswer key
Если $G(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ , каков $G'(x)$ по ФТИ-1?
Solve online
Ex. 83.15Understanding
Если $F'(x) = f(x)$ , какое правильное выражение для $\int_a^b f(x)\, dx$ по ФТИ-2?
Solve online
Ex. 83.16ApplicationAnswer key
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^1 t^3\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.17Application
Вычислите $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.18ModelingAnswer key
Объект имеет скорость $v(t) = t^2 - 4t + 3$ м/с. Вычислите чистое перемещение и общее пройденное расстояние от $t = 0$ до $t = 4$ с.
Solve online
Ex. 83.19ApplicationAnswer key
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{x^2} e^{t^2}\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.20Application
Вычислите $\int_0^2 (2x^3 - 3x^2)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.21Modeling
Предельная стоимость производства на заводе составляет $C'(q) = 2q + 50$ реалов за единицу. Вычислите общую стоимость производства первых 100 единиц.
Solve online
Ex. 83.22ChallengeAnswer key
Определите $G(x) = \int_1^x (2t - 1)\, dt$ . Вычислите $G(x)$ явно, проверьте, что $G'(x) = 2x - 1$ , и вычислите $G(1)$ и $G(3)$ .
Solve online
Ex. 83.23ApplicationAnswer key
Зная, что $\int_0^5 f(x)\, dx = 12$ и $\int_0^2 f(x)\, dx = 5$ , вычислите $\int_2^5 f(x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.24Challenge
Вычислите площадь области, ограниченной $y = x^2 - x$ и осью $x$ на $[0, 1]$ .
Solve online
Ex. 83.25Application
Вычислите $\int_{-2}^2 (x^2 - 1)\, dx$ .
Solve online
Ex. 83.26Application
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \cos(t^2)\, dt$ без вычисления первообразной.
Solve online
Ex. 83.27ModelingAnswer key
Электроэнергия на заводе изменяется по закону $P(t) = 3 + 0{,}5t$ кВт ( $t$ в часах). Вычислите энергию, потреблённую за первые 12 часов работы, и её стоимость по R$ 0,85 за кВтч.
Solve online
Ex. 83.28Challenge
Вычислите $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x} t^2\, dt$ .
Solve online
Ex. 83.29Challenge
Вычислите среднее значение $f(x) = x^2$ на $[0, 3]$ и найдите точку $c$ , гарантированную теоремой о среднем значении для интеграла.
Solve online
Ex. 83.30Proof
Докажите ФТИ-2 из ФТИ-1: если $F' = f$ и $f$ непрерывна на $[a,b]$ , то $\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$ .
Solve online

Источники

Active Calculus — Boelkins · §4.4 · CC-BY-NC-SA. Физическая мотивация, управляемое исследование обеих частей ФТИ.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.4 · CC-BY-NC. Доказательства ФТИ-1 и ФТИ-2, правило Лейбница, разнообразные упражнения.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.3 · CC-BY-NC-SA. Исторический контекст Ньютон/Лейбниц, примеры дифференцирования интегралов.