v1 · padrão canônico

Lição 84 — Técnica: substituição (u-substitution)

Substituição u = g(x): inversa da regra da cadeia. A técnica mais usada de integração. Versões indefinida e definida. Reconhecimento de padrão.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã

\int f(g(x))\, g'(x)\, dx = \int f(u)\, du, \quad u = g(x)

Книги, которые охватывают этот урок

Active Calculus — Boelkins
· §5.1 Constructing Accurate Graphs of Antiderivatives · CC-BY-NC-SA · Мотивация подстановки как обращения цепного правила; примеры с составными функциями.
APEX Calculus — Hartman et al.
· §6.1 Substitution · CC-BY-NC · Подробная механическая процедура, примеры с корректировкой постоянной, определённый интеграл с заменой пределов.
OpenStax Calculus Volume 1
· §5.5 Substitution · CC-BY-NC-SA · Формальная теорема замены переменной, определённый интеграл с корректировкой пределов, примеры с радикалами и тригонометрией.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Теорема и процедура

Теорема замены переменной

"Правило подстановки при интегрировании является аналогом цепного правила при дифференцировании." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.5

Доказательство. Если $F' = f$ , то по цепному правилу: $(F \circ g)' = f(g(x)) \cdot g'(x)$ . Таким образом, $F \circ g$ является первообразной $f(g(x)) g'(x)$ . По Основной теореме анализа:

$\int_a^b f(g(x)) g'(x)\, dx = F(g(b)) - F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\, du. \quad \square$

Механическая процедура

Definition· Шаги подстановки

Определите $u = g(x)$ — обычно "внутреннее" выражение составной функции.
Вычислите $du = g'(x)\, dx$ и, если необходимо, решите относительно $dx$ .
Перепишите интеграл полностью в терминах $u$ : подынтегральное выражение и $dx$ должны исчезнуть.
Определённый интеграл: замените также пределы интегрирования: $a \to g(a)$ , $b \to g(b)$ .
Вычислите интеграл по $u$ (должен быть проще исходного).
Неопределённый интеграл: вернитесь к $u = g(x)$ для выражения в терминах $x$ .

Признак, что подстановка будет работать

Подынтегральное выражение должно содержать $f(\text{что-то})$ , умноженное на производную "что-то" (или постоянное кратное этой производной).

Примеры паттерна:

Подынтегральное выражение	$u$	$du$
$2x\, e^{x^2}$	$x^2$	$2x\, dx$
$\cos x \cdot e^{\sin x}$	$\sin x$	$\cos x\, dx$
$\frac{x}{x^2 + 1}$	$x^2 + 1$	$2x\, dx$ (требует корректировки $1/2$ )
$x^2(x^3 + 1)^5$	$x^3 + 1$	$3x^2\, dx$ (корректировка $1/3$ )

Решённые примеры

Example— 1· Прямая подстановка с экспоненциальной (базовая)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int 3x^2 e^{x^3}\, dx$ .

Стратегия. Подынтегральное выражение имеет форму $f(g(x)) \cdot g'(x)$ с $g(x) = x^3$ и $g'(x) = 3x^2$ .

Решение. $u = x^3$ , $du = 3x^2\, dx$ .

$\int 3x^2 e^{x^3}\, dx = \int e^u\, du = e^u + C = e^{x^3} + C.$

Проверка. $(e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$ . Сходится.

Источник. APEX Calculus, §6.1, Пример 6.1.2 — CC-BY-NC.

Example— 2· Корректировка постоянной (базовая)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int x(x^2 + 5)^4\, dx$ .

Стратегия. $g(x) = x^2 + 5$ , $g'(x) = 2x$ . Подынтегральное выражение имеет $x$ (половину $g'$ ), поэтому требуется корректировка на $1/2$ .

Решение. $u = x^2 + 5$ , $du = 2x\, dx$ , тогда $x\, dx = du/2$ .

$\int x(x^2+5)^4\, dx = \int u^4 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{(x^2+5)^5}{10} + C.$

Проверка. $\left(\frac{(x^2+5)^5}{10}\right)' = \frac{5(x^2+5)^4 \cdot 2x}{10} = x(x^2+5)^4$ . Сходится.

Источник. APEX Calculus, §6.1, Пример 6.1.4 — CC-BY-NC.

Example— 3· Подстановка в определённом интеграле с заменой пределов (промежуточная)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\, dx$ .

Стратегия. $u = x^2 + 1$ , $du = 2x\, dx$ . Замените пределы: $u(0) = 1$ , $u(1) = 2$ .

Решение. $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\, dx = \int_1^2 u^3\, du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}.$

Проверка. Без замены пределов: первообразная $(x^2+1)^4/4$ . Оценить при $x=1$ и $x=0$ : $2^4/4 - 1^4/4 = 4 - 1/4 = 15/4$ . Сходится.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.5, Пример 5.38 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Подстановка с тригонометрической функцией (промежуточная)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int \sin^3 x \cos x\, dx$ .

Стратегия. $g(x) = \sin x$ , $g'(x) = \cos x$ — появляется явно в подынтегральном выражении.

Решение. $u = \sin x$ , $du = \cos x\, dx$ .

$\int \sin^3 x \cos x\, dx = \int u^3\, du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C.$

Проверка. $\left(\frac{\sin^4 x}{4}\right)' = \frac{4\sin^3 x \cos x}{4} = \sin^3 x \cos x$ . Сходится.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.5, Пример 5.36 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Интеграл от тангенса подстановкой (сложно)

Задача. Вычислите $\displaystyle\int \tan x\, dx$ .

Стратегия. Запишите $\tan x = \sin x / \cos x$ , затем возьмите $u = \cos x$ .

Решение. $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ , тогда $\sin x\, dx = -du$ .

$\int \frac{\sin x}{\cos x}\, dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C.$

Проверка. $(\ln|\sec x|)' = \frac{\sec x \tan x}{\sec x} = \tan x$ . Сходится.

Источник. APEX Calculus, §6.1, Пример 6.1.8 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 2Modeling 2Challenge 2Proof 1

Ex. 84.1Application
Вычислите $\int (2x+1)^4\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.2Application
Вычислите $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.3Application
Вычислите $\int \cos^3 x \sin x\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.4Application
Вычислите $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.5Application
Вычислите $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.6Application
Вычислите $\int \cos(3x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.7ApplicationAnswer key
Вычислите $\int x e^{-x^2/2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.8ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.9Application
Вычислите $\int \sin^4 x \cos x\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.10Application
Вычислите $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.11Application
Вычислите $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.12Application
Вычислите $\int \sin(2x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.13ApplicationAnswer key
Вычислите $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.14Application
Вычислите $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.15Application
Вычислите $\int \cot x\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.16ApplicationAnswer key
Вычислите $\int e^{5x}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.17Application
Вычислите $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.18UnderstandingAnswer key
Какая подстановка $u$ наиболее подходит для вычисления $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$ ?
Solve online
Ex. 84.19Understanding
При попытке использовать подстановку $u = g(x)$ , вы заметили, что $g'(x)$ умножено на постоянную, отличную от 1. Что делать?
Solve online
Ex. 84.20Application
Вычислите $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.21Application
Вычислите $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.22Application
Вычислите $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.23Modeling
Фонд с фиксированным доходом имеет скорость взноса R$ 500 в месяц с экспоненциальным ростом: $r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ реалов в месяц. Вычислите накопленный баланс после 12 месяцев.
Solve online
Ex. 84.24Application
Вычислите $\int x\cos(x^2)\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.25ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.26Application
Вычислите $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$ . (Подсказка: заметьте пределы после подстановки.)
Solve online
Ex. 84.27Challenge
Вычислите $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$ .
Solve online
Ex. 84.28Challenge
Попробуйте вычислить $\int \sec^3 x\, dx$ подстановкой. Определите, почему простая подстановка не работает здесь, и напишите ответ (требуется интегрирование по частям, Лекция 85).
Solve online
Ex. 84.29ProofAnswer key
Докажите, что $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$ где $F' = f$ и $a \neq 0$ .
Solve online
Ex. 84.30Modeling
Автомобиль имеет ускорение $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ м/с², начиная с покоя ( $v(0) = 0$ ). Найдите $v(t)$ подстановкой и вычислите скорость в $t = 4$ с.
Solve online

Источники

Active Calculus — Boelkins · §5.1 · CC-BY-NC-SA. Мотивация подстановки как обращения цепного правила.
APEX Calculus — Hartman et al. · §6.1 · CC-BY-NC. Механическая процедура, корректировка постоянной, определённый интеграл с заменой пределов.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.5 · CC-BY-NC-SA. Формальная теорема, примеры с радикалами и тригонометрией, упражнения на определённый интеграл.