v1 · padrão canônico

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades e sub u. Substituição trigonométrica para radicais √(a²±x²) e √(x²−a²). Fórmulas de redução de potências.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

Книги, охватывающие этот урок

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4 · Систематическое изложение с таблицей стратегий для sinⁿcosᵐ и tan^m sec^n; примеры с явным треугольником отсчёта.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3 · Полное покрытие обеих тем с геометрической мотивацией и приложениями к площадям круга и эллипса.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5 · Активные упражнения с акцентом на стратегию; естественный мост к применению в длине дуги и объёмах.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Тождества, паттерны и подстановки

Фундаментальные тождества

Definition· Тождества, используемые в тригонометрических интегралах

Следующие тождества являются ключевыми инструментами:

Пифагор: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ; $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ ; $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ .
Чётная степень (полуугол):

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.

what this means · Редуцирует sin² и cos² к функциям двойного угла — необходимо для чётных показателей.

Произведение в сумму: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ .

Паттерны для $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definition· Стратегия по чётности показателей

Случай	Стратегия
$n$ нечётно	Выделите $\sin x\, dx$ ; преобразуйте $\sin^{n-1}$ через $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ; подставьте $u = \cos x$
$m$ нечётно	Выделите $\cos x\, dx$ ; преобразуйте $\cos^{m-1}$ через $\cos^2 = 1 - \sin^2$ ; подставьте $u = \sin x$
Оба чётны	Повторно используйте полуугол

Для $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ :

Случай	Стратегия
$m$ чётно	Выделите $\sec^2 x\, dx$ ; преобразуйте через $\sec^2 = 1 + \tan^2$ ; подстановка $u = \tan x$
$n$ нечётно	Выделите $\sec x \tan x\, dx$ ; преобразуйте через $\tan^2 = \sec^2 - 1$ ; подстановка $u = \sec x$

"Стратегия интегрирования произведения степеней синуса и косинуса зависит от чётности показателей. Когда один из показателей нечётен, мы "откалываем" один множитель и используем тождество Пифагора для преобразования оставшейся чётной степени." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

Тригонометрическая подстановка

"Идея тригонометрической подстановки состоит в том, чтобы заменить выражение со знаком корня тригонометрическим выражением, которое легче интегрировать." — APEX Calculus §6.4

Примеры решённых задач

Example— 1· Нечётная степень синуса (базовый уровень)

Задача. Вычислите $\int \sin^3 x\, dx$ .

Стратегия. Нечётный показатель: выделите $\sin x\, dx$ , преобразуйте $\sin^2 = 1 - \cos^2$ , подставьте $u = \cos x$ .

Решение.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

Подстановка $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

Проверка. Дифференцируя: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . Правильно.

Источник. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Чётные показатели — полуугол (базовый уровень)

Задача. Вычислите $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .

Стратегия. Оба чётны: используйте $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ и затем полуугол.

Решение.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

Проверка. Дифференцируя: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . Правильно.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Подстановка x = a sin θ для √(a² − x²) (средний уровень)

Задача. Вычислите $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .

Стратегия. Радикал $\sqrt{a^2 - x^2}$ с $a = 2$ : подстановка $x = 2\sin\theta$ .

Решение.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ (с $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

Треугольник отсчёта ( $\sin\theta = x/2$ , гипотенуза 2, прилежащий катет $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

Результат: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

Проверка. Дифференцируя (цепное правило): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . Правильно.

Источник. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 4· Подстановка x = a tan θ для √(a² + x²) (средний уровень)

Задача. Вычислите $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .

Стратегия. Радикал $\sqrt{a^2 + x^2}$ с $a = 1$ : подстановка $x = \tan\theta$ .

Решение.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

Треугольник ( $\tan\theta = x$ , гипотенуза $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

Результат: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (эквивалентно $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

Проверка. Дифференцируя $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ : $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Правильно.

Источник. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Формула редукции и применение (сложный уровень)

Задача. Выведите формулу редукции $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ и используйте её для вычисления $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ .

Стратегия. Вывести интегрированием по частям; применить для $n = 4$ и $n = 2$ .

Решение.

Вывод: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

Подставьте $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

Переставьте: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . Разделите на $n$ .

Применение: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

Вычисление на $[0, \pi/2]$ : $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

Проверка. Формула Уоллиса: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Подтверждает.

Источник. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 24Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 87.1Application
Вычислите $\int \sin^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.2Application
Вычислите $\int \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.3ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \sin^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.4Application
Вычислите $\int \cos^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.5ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \sin^4 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.6Application
Вычислите $\int \cos^4 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.7Application
Вычислите $\int \sin^5 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.8Application
Вычислите $\int \tan^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.9ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.10ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \sin^3 x \cos x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.11ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \sin x \cos^3 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.12Application
Вычислите $\int \sin^3 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.13Application
Вычислите $\int \sin(3x)\cos(2x)\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.14Application
Вычислите $\int \tan^2 x \sec^2 x\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.15Application
Вычислите $\int \sqrt{1 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.16Application
Вычислите $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.17Application
Вычислите $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.18ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.19Application
Вычислите $\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.20Application
Вычислите $\int \dfrac{1}{1 + x^2}\, dx$ при помощи подстановки $x = \tan\theta$ .
Solve online
Ex. 87.21Application
Вычислите $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.22Application
Вычислите $\int \sqrt{1 + x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.23ApplicationAnswer key
Вычислите $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.24Application
Вычислите $\int \sqrt{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.25Modeling
Докажите, что площадь круга радиуса $r$ равна $\pi r^2$ , вычислив $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ .
Solve online
Ex. 87.26Modeling
Распределение Коши: проверьте, что $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ удовлетворяет $\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 1$ .
Solve online
Ex. 87.27Modeling
Действующее значение (RMS) $v(t) = V_0\sin(\omega t)$ : вычислите $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\, dt}$ , где $T = 2\pi/\omega$ .
Solve online
Ex. 87.28Modeling
Площадь эллипса $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ : вычислите $A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ и покажите, что $A = \pi ab$ .
Solve online
Ex. 87.29ChallengeAnswer key
Вычислите $\int \sec^5 x\, dx$ , используя формулу редукции для $\sec^n$ .
Solve online
Ex. 87.30Challenge
Вычислите $\int \dfrac{1}{\sin x}\, dx = \int \csc x\, dx$ , используя подстановку Вейерштрасса $t = \tan(x/2)$ .
Solve online
Ex. 87.31Proof
Доказательство. Докажите формулу редукции $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ , используя интегрирование по частям.
Solve online
Ex. 87.32Proof
Доказательство. Докажите, что $\int \sec x\, dx = \ln\lvert \sec x + \tan x\rvert + C$ , умножив на $(\sec x + \tan x)/(\sec x + \tan x)$ .
Solve online

Источники

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. Основной источник.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

Тождества, паттерны и подстановки

Фундаментальные тождества

Паттерны для ∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx

Тригонометрическая подстановка

Формулы редукции

Примеры решённых задач

Источники

Паттерны для $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$