第2课 — 函数:定义、定义域、值域

求$f(x) = 3x + 1$的最大定义域。

求$g(x) = \frac{1}{x - 2}$的最大定义域。

求$h(x) = \sqrt{x - 5}$的最大定义域。

求$f(x) = \frac{1}{(x+2)(x-3)}$的最大定义域。

设$f(x) = 2x^2 + 2$。计算$f(2)$、$f(-1)$、$f(0)$。

函数$f(x) = 3x - 1$是单射吗?请说明理由。

定义在$\mathbb{R}$上的函数$g(x) = x^2$是单射吗?

定义在$\mathbb{R}$上的$g(x) = x^2$的值域是什么?

设$f(x) = x^2$和$g(x) = x + 1$。计算$(f \circ g)(x)$。

对上面相同的$f$和$g$,计算$(g \circ f)(x)$。

通过给出与前面不同的具体反例,证明$f \circ g \neq g \circ f$在一般情况下成立。

求$f(x) = 3x + 1$的反函数。

为什么定义在$\mathbb{R}$上的$f(x) = x^2$没有反函数?在$[0, +\infty)$上呢?

求$f: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$,$f(x) = x^2$的反函数。

出租车收取R$5.50固定费 + R$3.10/公里。(a) 写出成本函数$T(d)$。(b) 12公里的行程花费多少?(c) 多少距离的成本是R$80?

一个空泳池以200 L/分钟的恒定流速被填充。建模灌注期间体积$V(t)$(以升为单位)作为时间$t$(以分钟为单位)的函数。泳池总容量为8000 L。求物理定义域和值域。

计算体重70 kg、身高1.75 m的人的BMI。属于WHO的哪个范围?

工厂每天以$C(q) = 100 + 8q + 0{,}1q^2$雷亚尔的成本生产$q$个单位。(a) 固定成本是多少?(b) 当$q = 50$时单位平均成本是多少?(c) 生产第51个单位的成本是多少?(这个差就是"边际成本" — 导数预览!)

设$f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是满足$(f \circ g)(x) = x^2 + 1$且$g(x) = x + 1$的函数。求$f(x)$。

证明:两个双射函数的复合是双射。

求$f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$的最大定义域。

求$f(x) = \sqrt{4 - x}$的最大定义域。

求$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$的定义域。

求$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$的定义域。

求$f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x}$的定义域。

使用水平线测试判断$f(x) = x^3 - 3x$在$\mathbb{R}$上是否为单射。

由$f(x) = x^3$定义的函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$是单射吗?是满射吗?是双射吗?请说明理由。

由$g(x) = x^2$定义的函数$g: \mathbb{R} \to [0, +\infty)$是满射吗?是单射吗?

设$f(x) = 2x + 3$和$g(x) = x^2$。计算$f \circ g$、$g \circ f$、$f \circ f$、$g \circ g$。

已知$(f \circ g)(x) = 4x^2 - 4x + 5$和$g(x) = 2x - 1$,求$f(x)$。(提示:令$u = 2x - 1$。)

从$|x|$的图像草绘$f(x) = |x - 3|$的图像。

从$x^2$的变换草绘$f(x) = -2(x+1)^2 + 4$。

判断下列每个函数是偶函数、奇函数还是非奇非偶:(a) $f(x) = x^4 - x^2$;(b) $g(x) = x^3 + x$;(c) $h(x) = x^2 + x$。

考虑特征函数$\chi_A(x) = 1$如果$x \in A$,否则$0$。对$A = [0, 1]$,草绘$\chi_A$。求定义域和值域。

函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$被称为以$T > 0$为周期的周期函数,如果对所有$x$有$f(x + T) = f(x)$。验证$\sin x$有周期$2\pi$。是否存在更小的周期?

矩形泳池的固定周长为30 m。建模面积$A$作为长度$\ell$的函数。求物理定义域(合理的最小值和最大值)。

从边长20 cm的正方形纸板,通过在角上切下边长$x$的正方形并折叠来构造一个无盖盒子。建模体积$V(x)$。说明定义域。

房间中冷却的咖啡的温度$T$(°C)遵循$T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}9^t$($t$以分钟为单位)。定性地求$T(0)$、$T(10)$和极限$\lim_{t \to \infty} T(t)$(无需正式微积分)。

需求函数$D(p) = 100 - 2p$($p$以雷亚尔为单位,$D$以单位为单位)描述客户在每个价格购买多少单位。(a) 在哪个价格需求为零?(b) 定义域$p \geq 0$的现实解释是什么?

公司的生产成本函数为$C(q) = 2,000 + 8q$(固定部分 + 可变部分)。(a) 生产100单位的成本是多少?(b) 建模平均成本函数$CM(q) = C(q)/q$。

细菌每30分钟翻倍。如果$N(0) = 100$,建模种群$N(t)$。(此函数将在第6课作为指数函数返回。)

通过$x$米水的光强度$I$遵循朗伯-比尔定律:$I(x) = I_0 \e^{-kx}$,$k = 0{,}5$。对$I_0 = 1,000$勒克斯:(a) 2 m处的强度?(b) 在哪个深度强度下降到一半?

在力学中,从高度$h_0$自由下落的物体的位置为$h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2$,$g \approx 9{,}81$ m/s²。对$h_0 = 100$ m:物体何时到达地面?

航空公司有$n$名乘客的航班成本为$1,500 + 200n$雷亚尔,每张票收费$300$雷亚尔。建模利润$L(n)$。多少$n$航班开始盈利?

巴西男孩的平均身高(大约)遵循$h(t) = 50 + 6t$ cm,$t \in [0, 18]$岁。(a) 物理定义域?(b) 12岁时的身高?(c) 6 cm/年合理吗?讨论模型的局限性。

推荐的最大心率为$F_\text{max}(\text{年龄}) = 220 - \text{年龄}$。建模函数并计算30、50、70岁的值。

在街区几何中,网约车在两点之间的路径可以用曼哈顿距离函数$d_M(P, Q) = |x_P - x_Q| + |y_P - y_Q|$建模。计算$d_M((1,2), (5,7))$。(与大学$\ell_1$范数的联系。)

函数$V(t) = 30,000(0{,}85)^t$建模购买后$t$年汽车的转售价值。计算(a) $V(0)$;(b) $V(5)$;(c) 多少$t$价值降到R$ 10,000以下?

数学建模:"两个数的和是30,乘积最大"。(二次函数 — 第4课预览。)

在工厂里,每个工人每天组装12个产品。存在协调低效:从50名工人开始,每个额外的工人只组装8个产品。将总产量$P(n)$建模为分段函数。