第3课 — 仿射函数（一次函数）

对 $f(x) = 3x + 1$，计算 $f(2)$。

$f(x) = 2x - 5$ 的斜率系数是多少？

$f(x) = 2x - 5$ 的线性系数是多少？

求 $f(x) = 2x - 5$ 的零点。

$f(x) = 4x + 3$ 是递增、递减还是常数？

$g(x) = -2x + 7$ 是递增、递减还是常数？

求经过点 $(0, 1)$ 和 $(2, 5)$ 的直线方程。

求经过 $(1, 4)$ 和 $(3, -2)$ 的直线方程。

证明 $f(x) = ax + b$ 的变化率 $(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$ 对任意 $x_1 \neq x_2$ 是常数且等于 $a$。

两条直线 $y = a_1 x + b_1$ 和 $y = a_2 x + b_2$ 平行，如果 $a_1 = a_2$。垂直，如果 $a_1 \cdot a_2 = -1$。求经过 $(0, 0)$ 且垂直于 $y = 3x + 1$ 的直线。

电费有固定费 R$15.00 + 每千瓦时 R$0.80。(a) 建模 $C(k)$。(b) 消耗 250 kWh 多少钱？(c) 消耗多少时账单达到 R$200？

摄氏度和华氏度的关系为 $F = 1.8C + 32$。(a) 在 20°C，是多少 °F？(b) 在 100°F，是多少 °C？(c) 是否存在 $C = F$ 的温度？

某城市2020年有1500名居民，到2025年线性增长到2500名。(a) 设 $t = 0$ 在2020年，建模人口 $P(t)$。(b) 保持该速率，何年人口达到4000？

赛车比赛中，A 车从位置 0 m 出发，恒定速度 30 m/s。B 车同时从位置 200 m 出发，恒定速度 25 m/s，同方向。两车何时何地相遇？

证明两个仿射函数的复合也是仿射函数。

求经过 $(3, 5)$ 和 $(1, 1)$ 的直线方程。

求经过 $(-2, 4)$ 和 $(3, -6)$ 的直线方程。

求与 $y = 3x + 1$ 平行且经过 $(0, 5)$ 的直线。

求与 $y = 2x - 3$ 垂直且经过 $(2, 3)$ 的直线。

求 $a$ 使得直线 $y = ax + 2$ 和 $y = 4x - 5$ 平行。

求 $a$ 使得直线 $y = ax + 2$ 和 $y = 4x - 5$ 垂直。

求 $y = 2x - 3$ 和 $y = -x + 3$ 的交点。

直线 $r$ 经过 $(0, 4)$ 且垂直于方程 $3x + y - 6 = 0$ 的直线。求其方程。

证明三个点 $(0,1)$、$(2, 5)$、$(5, 11)$ 共线。

对 $k$ 的什么值，点 $(1, 2)$、$(3, k)$、$(5, 12)$ 共线？

求原点到直线 $3x - 4y + 12 = 0$ 的距离。（点到直线距离公式。）

判断直线 $y = 2x - 5$ 相对于圆 $x^2 + y^2 = 4$ 是切线、割线还是相离。（代入并求解。）

从 $|x|$ 出发画 $f(x) = |2x - 4|$ 的图像。

代数地和几何地证明 $f(x) = ax + b$ 是单射当且仅当 $a \neq 0$。

计算直线 $y = x + 1$ 和 $y = 3x - 2$ 之间的角。（用 $\tan\theta = |m_1 - m_2|/(1+m_1 m_2)$。）

出租车收费固定 R$ 5.00 加 R$ 2.80/km。建模收费 $T(d)$ 并计算 6 km 的费用。

水费有固定费 R$ 25.00 加每立方米 R$ 4.50。消耗多少时账单超过 R$ 100.00？

某手机运营商收取固定 R$ 30.00 + R$ 0.40/分钟通话。另一家收 R$ 50.00 固定 + R$ 0.15/分钟。从多少分钟开始第二家更便宜？

井的深度随钻孔时间线性增加。2小时后是 40 m，5小时后是 88 m。建模 $h(t)$ 并计算 10 小时后的深度。

摄氏-华氏转换：$0\,°C = 32\,°F$ 和 $100\,°C = 212\,°F$。将 $F(C)$ 建模为仿射函数。计算 $F(37)$ 和 $C^{-1}(98.6)$。

某工厂的成本函数是 $C(q) = 200 + 8q$，收入是 $R(q) = 12q$。(a) $q$ 为多少时利润为零？(b) $q = 100$ 时利润是多少？

在材料科学中，弹性杆的应变 $\epsilon$ 与施加的应力 $\sigma$ 成正比（胡克定律）：$\sigma = E \cdot \epsilon$。对 $E = 200$ GPa：(a) $\sigma = 100$ MPa 时的应变是多少？(b) 讨论有效极限。

蜡烛高度线性减少：$h(t) = 25 - 0.8t$ cm，$t$ 以分钟为单位。(a) 蜡烛何时燃尽？(b) 在物理域内画 $h$ 的图。

在水力学中，稳态流量 $Q$ 是常数：$V(t) = Q \cdot t$。对 $Q = 5$ L/min，建模 $V(t)$ 并计算 1 小时的体积。

在运输经济学中，燃油成本是 $C(d) = 0.45 \cdot d$ R$（其中 $d$ 以 km 为单位）。建模 350 km 旅行的成本。

租车每日费用 R$ 80.00 固定 + R$ 0.30/km。300 km 旅行 1 天总费用是多少？

近地大气压每米海拔约下降 $0.12$ kPa。海平面值为 101.3 kPa。建模 $P(h)$。压力为 50 kPa 时海拔多少？（简化模型有效到约 1 km。）

市场研究中，单位销量 $V$ 关于价格 $p$ 的函数估计为 $V(p) = 500 - 8p$。(a) 物理域？(b) 总收入 $R(p) = p \cdot V(p)$ 是多少？(c) 最大化收入的价格是什么？— 二次函数预览。

在恒定坡度的徒步中，热量消耗 $G$ 随距离线性增加。1 km 后消耗 60 kcal；5 km 后消耗 280 kcal。建模 $G(d)$。

考虑两家互联网运营商：

• 套餐 A：R$ 90.00/月（固定，无限）
• 套餐 B：R$ 30.00/月 + R$ 4.00 每使用 GB

什么消耗 $g$（以 GB 为单位）下两个套餐费用相同？