第4课 — 二次函数

解 $x^2 - 4x + 3 = 0$。

解 $x^2 - 3x - 10 = 0$。

解 $x^2 - 6x + 9 = 0$。

检验 $x^2 + x + 1 = 0$ 是否有实根。

求 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 的顶点。

上一题中的函数有最大值还是最小值？是多少？

确定 $k$ 的值，使 $x^2 + 2x + k = 0$ 有两个不同实根。

利用韦达定理（根的和与积）解 $x^2 - x - 2 = 0$。

将 $f(x) = 2x^2 - 8x + 11$ 改写为标准形 $a(x - x_V)^2 + y_V$。

弹丸被发射，其高度作为时间的函数为 $h(t) = -5t^2 + 20t$（米，$t$ 以秒计）。(a) 何时达到最大高度？(b) 最大高度是多少？(c) 何时返回地面？

某商店制造 $q$ 件单位的成本为 $C(q) = q^2 - 30q + 250$。使成本最小的单位数是多少？

农民有 200 m 围栏想做矩形牧场。哪些尺寸最大化面积？

确定 $m$ 使函数 $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$ 的顶点位于 $y$ 轴上。

证明：$f(x) = ax^2 + bx + c$ 顶点的横坐标是根（当存在时）的平均值。

用配方法证明求根公式。

求 $f(x) = x^2 - 2x - 8$ 的根、顶点并绘制草图。

求 $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$ 的根、顶点并绘制草图。

求 $f(x) = 3x^2 - 12x + 9$ 的根和顶点。

求 $f(x) = x^2 + 6x + 13$ 的根和顶点。（无实根 — 用判别式验证。）

解：$x^2 - x - 12 = 0$。

解：$4x^2 - 12x + 9 = 0$。

解：$2x^2 + 5x - 3 = 0$。

解：$x^2 - 4x - 5 < 0$。

解：$x^2 \geq 9$。

$a$ 取何值时抛物线 $y = a(x - 3)^2 + 5$ 的顶点是点 $(3, 5)$？$a$ 对图象的形状起什么作用？

确定 $k$ 使 $f(x) = x^2 + kx + 9$ 有重根。

将 $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ 改写为 $a(x - h)^2 + k$ 形式（标准形/顶点形）。

求根为 $-2$ 和 $5$ 且经过 $(0, -10)$ 的二次函数。

求顶点为 $(1, -3)$ 且经过 $(3, 5)$ 的二次函数。

从 $x^2$ 的图象出发，通过一系列变换绘制 $y = 2(x-1)^2 - 3$ 的草图。

以初速度 30 m/s 垂直发射弹丸。高度为 $h(t) = 30t - 5t^2$（m）。(a) 最大高度？(b) 落下时间？(c) 绘制 $h(t)$ 的草图。

围栏将矩形地块靠墙围起来（围栏在 3 边）。围栏总长 60 m。将面积 $A$ 建模为一边的函数并最大化。

收益 $R(p) = p \cdot (200 - 4p)$。(a) 何时收益为零？(b) 何时最大？(c) 最大收益是多少？

工厂成本 $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$，收益 $R(q) = 200q$。(a) 利润 $L(q)$？(b) 使利润最大的 $q$？(c) 最大利润？

球员投出的球的轨迹由 $h(d) = -0.1 d^2 + d + 1$（m）描述，$d$ 为水平距离。(a) 达到的最大高度？(b) 球落地的位置？

矩形泳池宽比长少 $5$ m。面积为 $84$ m²。尺寸是多少？

在通信中，接收功率 $P$ 随距离 $d$ 变化为 $P(d) = P_0 / d^2$（平方反比定律）。$P_0 = 100$ 时：(a) $P(2)$？(b) 何时功率为 25？

U 形排水沟（由 30 cm 宽板材成型）底为 $x$，侧为 $(30-x)/2$。将横截面积 $A(x)$ 建模并求使流量最大的 $x$。

匀变速运动：$s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$。$s_0 = 0$，$v_0 = 20$ m/s，$a = -10$ m/s²（制动），何时 $s(t) = 0$？最大行程？

肿瘤建模（简化模型）中，体积按 $V(t) = at^2 + b$ 增长。若 $V(0) = 1$ cm³ 且 $V(2) = 5$ cm³，求 $a, b$。

求和为 12、积最大的两个数。

斜边固定 $c = 10$ m 的直角三角形地块的面积。一直角边为 $x$。将面积 $A(x)$ 建模并最大化。

光学中，透镜焦距遵循 $1/f = 1/d_o + 1/d_i$。$f = 10$ cm 时，将 $d_i$ 建模为 $d_o$ 的函数。何时 $d_o$ 使图像在 $d_i = 30$ cm 处清晰？

某公司加薪 ($\Delta s$) 影响生产率 ($p$)：$p(\Delta s) = -0.1(\Delta s)^2 + 4 \Delta s + 50$。(a) 最优加薪？(b) 最大生产率？

农民有 200 m 围栏建一个矩形鸡舍，由一道与某边平行的内部围栏一分为二。哪些尺寸最大化面积？最大面积是多少？