第5课 — 复合函数与反函数

设 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x + 3$。计算 $(f \circ g)(x)$。

相同的 $f, g$。计算 $(g \circ f)(x)$。

求 $f(x) = 3x - 1$ 的 $f^{-1}(x)$。

求 $f: [0,+\infty) \to [2,+\infty)$, $f(x) = x^2 + 2$ 的 $f^{-1}(x)$。

对于 $f(x) = x^2$, $g(x) = x+5$,计算 $(f \circ g)(2)$。

同样情况。计算 $(g \circ f)(2)$。

通过反例证明一般情况下 $f \circ g \neq g \circ f$。

是否存在某个函数使得对所有 $g$ 都有 $f \circ g = g \circ f$?证明你的答案。

设 $f, g$ 是双射。证明 $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$。(顺序颠倒 — "脱袜子先于脱鞋"。)

如果 $f \circ g$ 是单射,$g$ 是否必然是单射?证明你的答案。

某商品价格 $p$ 雷亚尔。商店 A 给 $20\%$ 折扣:$f(p) = 0{,}8p$。商店 B 减 R$10:$g(p) = p - 10$。(a) 先 A 后 B 应用,公式是什么?(b) 先 B 后 A?(c) 对 $p = 100$,哪种策略花费更少?

设 $f, g$ 满足 $(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$ 且 $g(x) = x + 2$。确定 $f$。

已知 $f(x+1) = 2x^2 + 3x - 1$,确定 $f(x)$。

证明:如果 $f$ 是双射,则 $(f^{-1})^{-1} = f$。

证明两个单射函数的复合是单射。

设 $f(x) = x + 5$ 和 $g(x) = x^2$。计算 $(f \circ g)(x)$ 和 $(g \circ f)(x)$。

设 $f(x) = 3x - 2$ 和 $g(x) = \frac{1}{x}$。计算 $(f \circ g)(2)$ 和 $(g \circ f)(2)$。

设 $f(x) = \sqrt{x}$ 和 $g(x) = x^2 - 4$。确定 $(f \circ g)(x)$ 及其定义域。

设 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ 和 $g(x) = x + 3$。计算 $(f \circ g)(x)$ 并指出限制条件。

将 $h(x) = (3x + 2)^4$ 分解为"更简单"函数的复合 $f \circ g$。

将 $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ 分解为复合。

将 $h(x) = \frac{1}{(x+5)^2}$ 分解为三个函数的复合。

求 $f(x) = 3x + 7$ 的反函数。

求 $f(x) = \frac{x - 1}{2}$ 的反函数。

求 $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$ 的反函数。

求 $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$ 的反函数。

验证 $f(x) = 2x + 4$ 和 $g(x) = (x-4)/2$ 是反函数(计算 $f \circ g$ 和 $g \circ f$)。

函数 $f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可逆。确定两个不同的集合,使 $f$ 在其上变为可逆,并给出两个反函数。

图形地证明:反函数 $f^{-1}$ 的图像是 $f$ 关于直线 $y = x$ 的反射。

对于在区间 $I$ 上连续且单射的 $f$,证明 $f^{-1}$ 也连续。(通过图像的直观论证 — 形式化在第41课。)

雷亚尔-美元转换器:$D(R) = R/5$(简化汇率)。求 $D^{-1}$ — 每美元多少雷亚尔?计算 $D(500)$ 和 $D^{-1}(50)$。

在物流中,运费为 $C(p) = 30 + 4p$,其中 $p$ 是公斤重量。求 $C^{-1}(c)$ — 什么重量支付 R$ $c$ 运费?运费 R$ 90 的包裹有多重?

摄氏到华氏转换:$F(C) = \frac{9}{5}C + 32$。确定 $F^{-1}$ 并计算对应于 $F = 100$ 的 °C 温度。

在药代动力学中,口服剂量 $D$ 产生血液浓度 $C(D) = 0{,}05 \cdot D$($D$ 以毫克为单位时,毫克/升)。求 $C^{-1}$ — 什么剂量产生浓度 $c$?对 $c = 2$ 毫克/升,什么剂量?

某商品价格 $p$ 雷亚尔。商店 A 提供 $f(p) = 0{,}9 p$(10% 折扣)。商店 B 提供 $g(p) = p - 50$(R$ 50 固定折扣)。对 $p = 800$:(a) 哪种策略花费更少?(b) 对哪个 $p$ 两种策略费用相同?

在电路中,两个并联电阻的总电阻为 $R_T = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$。固定 $R_1 = 100\,\Omega$,将 $R_T$ 表示为 $R_2$ 的函数。计算反函数:$R_2$ 作为 $R_T$ 的函数。

经济效用函数:$U(c) = \sqrt{c}$(其中 $c$ = 消费)。求反函数:效用 $u$ 需要多少消费?对 $u = 5$,$c$ 是什么?

一辆汽车以函数 $C(d) = 0{,}08 d$ 升($d$ 以公里为单位)消耗燃料。求 $C^{-1}$ — $c$ 升能跑多少公里?40 升能跑多少公里?

在人耳中,声觉遵循近似定律 $S(I) = k \log(I/I_0)$(对数 — 第7课预览)。求逆以得到 $I$ 作为 $S$ 的函数。

某工业评估量表从 0 到 100。该行业需要将分数转换为 1-10 量表发布。建模转换 $C(n)$ 及其反函数。

在 JPEG 图像压缩中,质量因子 $Q \in [0, 100]$ 与每像素位数相关。简化模型:$b(Q) = 0{,}05 Q^2$ bpp。求逆得到 $Q$ 作为 $b$ 的函数。

游泳池的填充函数为 $V(t) = 80t$ 升。求 $V^{-1}(v)$ — 填充 $v$ 升需要多长时间。4,000 升需要多长时间?

在人口建模中,$P(t) = P_0 \cdot 2^{t/T}$ 每 $T$ 年翻一番。求逆得到 $t(P)$ — 多长时间人口达到 $P$?(使用第7课的对数。)

测量软饮料糖含量的技术员使用密度-浓度关系 $\rho(c) = 1{,}0 + 0{,}004 c$(克/立方厘米,$c$ 以克/升为单位)。求逆:如果 $\rho = 1{,}080$,估计 $c$。

生产函数:每个操作员生产 $p(n) = 50n - 0{,}5 n^2$ 个单位,$n \in [0, 100]$。(a) 在 $[0, 50]$ 上的局部反函数。(b) 哪个 $n$ 使生产最大?