第6课 — 指数函数

计算 $2^5$。

计算 $2^{-3}$。

求解 $2^x = 8$。

求解 $3^x = 1/9$。

求解 $2^{x+1} = 32$。

求解 $2^x > 2$。

求解 $4^x = 64$。

求解 $9^x = 27$。

用整数幂的定义证明 $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$。

细菌菌落每小时翻倍。最初有 50 只细菌。(a) 建模 $N(t)$。(b) 6 小时后有多少？(c) 多长时间种群达到 12,800？

以 6% 年利率年复利投资 R$1,000。(a) 建模 $t$ 年后的 $S(t)$。(b) 计算 5 年后。(c) 若月复利，5 年后余额？

碳-14 的半衰期为 5,730 年。一块骨头含有原始碳-14 的 $1/8$。它有多少年？

某城市有 100,000 居民，每年增长 3%。多少年人口翻倍？

求解 $4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$。（提示：代换 $u = 2^x$。）

证明 $a^x = b^x$ 蕴含 $a = b$ 或 $x = 0$，对 $a, b > 0$。

求解 $2^{x+3} = 4$。

求解 $5^{2x-1} = 125$。

求解 $9^x = 27$。

求解 $3^{x^2 - 1} = 81$。

求解 $\left(\frac{1}{2}\right)^{2x} = 8$。

求解 $4^x + 2^{x+1} - 8 = 0$。（提示：$u = 2^x$。）

求解 $9^x - 3^{x+1} - 18 = 0$。

求解 $3^x < 9$。

求解 $5^{x+1} \geq 25$。

求解 $\left(\frac{1}{4}\right)^x > 64$。

在同一平面上画 $f(x) = 2^x$ 和 $g(x) = 2^{-x}$。求它们相交的位置。

在区间 $[-2, 2]$ 上图形比较 $f(x) = 2^x$ 和 $g(x) = 3^x$。$x$ 取何值时 $f = g$？

证明 $f(x) = a^x$ 严格递增若 $a > 1$，严格递减若 $0 < a < 1$。

对 $n = 1, 10, 100, 1,000, 10,000$ 计算 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$。与 $\e \approx 2.71828$ 比较。

$a$ 取何值时函数 $f(x) = a^x$ 经过点 $(2, 9)$？经过点 $(3, 1/8)$？

细菌培养每 4 小时三倍。如果最初有 200 只细菌，建模 $N(t)$ 并计算 $N(12)$。

以月利率 0.8% 月复利投资 R$ 5,000。(a) 建模 $S(t)$ 的月数。(b) 24 个月后的余额？

连续复利：$S(t) = S_0 \e^{rt}$。投资 R$ 1,000 在 $r = 10\%$ a.a.，比较 5 年后年复利（$1.10^5$）和连续复利（$\e^{0.5}$）的余额。

锝-99m（核医学）半衰期：6 小时。对 200 mCi 初始剂量，18 小时后剩多少？

某城市每年增长 2.5%。如果当前 = 80,000，10 年后是多少？

指数衰减：$A(t) = A_0 \cdot 0.5^{t/T}$。对 $A_0 = 100$ 和 $T = 5$，$A(15)$ 是多少？$A(0)$ 是多少？

水中光强按 $I(x) = I_0 \e^{-0.3 x}$ 衰减（$x$ 以米为单位）。(a) 多深时 $I = 0.1 I_0$？(b) 对 $I_0 = 1,000$ lux，5 m 时 $I$ 是多少？

垂钓中：冰箱里死鱼的温度 $T(t)$ 遵循牛顿定律：$T(t) - T_a = (T_0 - T_a)\e^{-kt}$。对 $T_a = 5\,°C$，$T_0 = 25\,°C$，$k = 0.1$/min：(a) $T(10)$；(b) $T = 6\,°C$ 时？

药物以 $k = 0.3$/h 的速率从体内清除。对初始剂量 500 mg：(a) 建模 $C(t)$；(b) 浓度何时为初始的一半？

计算机网络中，包在 $t$ 秒内到达的概率可近似为 $P(t) = 1 - \e^{-\lambda t}$。对 $\lambda = 0.5$/s：(a) $P(2)$；(b) 概率为 0.9 时 $t$ 是多少？

电容器按 $V(t) = V_0 \e^{-t/RC}$ 放电。对 $V_0 = 12$V，$RC = 2$s：(a) $V(1)$；(b) $V = 1$V 时？

日复利：$S = S_0 (1 + r/365)^{365 t}$ 近似连续复利。对 $r = 12\%$ a.a.，$S_0 = 1,000$，计算 2 年后的 $S$。

在人口研究中，城市建模：$P(t) = 50,000 \cdot 1.03^t$，$t$ 以年为单位。(a) 多长时间翻倍？(b) 百分比格式 $r$ 的年率是多少？

屏蔽吸收的电离辐射遵循 $I(x) = I_0 \e^{-\mu x}$（其中 $\mu$ = 衰减系数）。对 $\mu = 0.2$/cm：(a) 厚度多少时 $I = I_0/10$？(b) 草绘。

大气散射（瑞利）— 蓝光散射强度 $\propto 1/\lambda^4$。对 $\lambda_v = 700$ nm（红）和 $\lambda_a = 450$ nm（蓝），散射比是多少？