第7课 — 对数函数

Calcule $\log_2 8$.

Calcule $\log_3 81$.

Calcule $\log_5 (1/5)$.

Calcule $\log_{10} 1$.

Calcule $\log_{10} 1000$.

Calcule $\log_4 2$.

Resolva $\log_2 x = 5$.

Resolva $\log_{10} x = 2$.

Use propriedades para simplificar $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$.

Calcule $\log_2 \sqrt{32}$ usando propriedades.

Calcule $\log_5 25$.

Calcule $\log_3 (1/9)$.

Calcule $\log_{16} 64$.

Calcule $\log_2 32 + \log_2 4$.

Calcule $\log_3 27 - \log_3 9$.

Use propriedades: $\log_2 (8 \cdot 16)$.

Use propriedades: $\log_2 (32/8)$.

Use propriedades: $\log_5 (125^3)$.

Use mudança de base: $\log_2 7 = ?$ (em termos de $\ln$).

Resolva $\log_3 x = 4$.

Resolva $\log_2 (x+1) = 5$.

Resolva $\log_4 x + \log_4 (x-3) = 1$.

Resolva $\log_3 (x^2 - 5x + 9) = 1$.

Resolva $\ln(x+1) = 2$.

Resolva $\log_5 x = \log_5 6 + \log_5 4$.

Resolva $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

Demonstre a propriedade $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ usando a definição.

Qual é o domínio e a imagem de $f(x) = \log_a x$ (com $a > 0, a \neq 1$)?

Quanto vale $\log_{10} 0$?

Sabendo $\log_{10} 2 \approx 0,301$, calcule $\log_{10} 5$.

A magnitude Richter é $M = \log_{10}(A/A_0)$. Quantas vezes mais amplitude tem um sismo de magnitude 7 comparado a um de magnitude 4?

Intensidade sonora em dB: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ com $I_0 = 10^{-12}$ W/m². (a) $L$ para conversa $I = 10^{-6}$. (b) $L$ para show $I = 10^{-2}$. (c) Razão entre intensidades.

pH: $\text{pH} = -\log_{10}[H^+]$. (a) Calcule pH para $[H^+] = 10^{-3}$ mol/L. (b) Quantas vezes mais ácido é pH 4 vs pH 7?

Uma droga tem meia-vida de 6 horas. Quantas meias-vidas para o nível cair abaixo de 1% do inicial?

A população mundial cresce a 1,1% ao ano. Em quanto tempo dobra? (Use $\ln 2 \approx 0{,}693$.)

Datação por carbono-14: $t = \frac{\tau_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln(N_0/N)$. Para $\tau_{1/2} = 5\,730$ anos e $N/N_0 = 0,25$, qual a idade?

Juros compostos: $t = \log(S/S_0)/\log(1+i)$. Para $S_0 = 1.000$, $i = 8\%$ a.a., quanto tempo até $S = 5.000$?

Entropia de Shannon: $H = -\sum p_i \log_2 p_i$ (em bits). Calcule $H$ para distribuição uniforme em 4 elementos.

Para alfabeto $\{A, B, C\}$ com probabilidades $\{0,5; 0,3; 0,2\}$, calcule $H$.

Lei de Beer-Lambert: $A = \log_{10}(I_0/I)$. Para $A = 0,3$, qual a fração $I/I_0$ transmitida?

Em fotografia, cada "stop" representa $\log_2$ da razão de luminância. Quantos stops separam ISO 100 e ISO 1.600?

Razão entre potências em dB: $\Delta = 10 \log_{10}(P_1/P_2)$. Se $P_1 = 100 P_2$, qual $\Delta$?

Magnitude estelar: $m_1 - m_2 = -2,5 \log_{10}(F_1/F_2)$. Sirius ($m \approx -1,5$) é quantas vezes mais brilhante que uma estrela de magnitude 6?

Em ciência da computação, busca binária tem complexidade $O(\log_2 n)$. Para $n = 10^6$, quantas comparações?

Crescimento populacional contínuo: $P(t) = P_0 e^{rt}$. Inverta para $t$ em função de $P, P_0, r$ e calcule quanto tempo até dobrar a R$ 1.000 a 10% a.a.