第8课 — 指数增长与衰减

细菌培养每 30 分钟翻倍。最初 100 只细菌。3 小时后多少只？

以 8% 年利率复利投资 R$2,000。10 年后余额？

某同位素半衰期 5 年。25 年后剩多少？

某城市每年人口增长 2%。多少年三倍？

90°C 的咖啡在 20°C 环境中冷却。5 分钟后是 70°C。用牛顿定律建模 $T(t)$。

证明若 $N(t) = N_0 e^{kt}$，则比 $N(t+\Delta t)/N(t)$ 仅取决于 $\Delta t$，而不依赖 $t$。这是定义指数增长的特征。

如果数量每 7 年翻倍，连续增长率 $k$ 是多少？

某药物在体内半衰期 6 小时。患者服用 200 mg。(a) 12 小时后剩多少？(b) 24 小时后？(c) 水平何时降至 10 mg 以下？

发射天线功率 $P$（瓦）和覆盖距离 $d$（公里）的关系经验地由 $d = 10 \cdot P^{0.25}$ 给出。求 $P = 100$ W 的 $d$。通过对数线性化并识别斜率。

碳-14 测年：骨头含 $30\%$ 原始碳-14。已知 $\tau_{1/2} = 5730$ 年，骨头多少年？

某湖中鱼群在 7 年内翻倍。保持同样速率，多少年四倍？多少年五倍？

某银行提供两种投资选择：A：12% 年利率年复利。B：11.5% 年利率连续复利。5 年后哪个收益更多？

世界人口 2000 年 60 亿，2024 年 80 亿。(a) 假设指数增长建模。(b) 何年应达到 100 亿？

证明若 $N(t)$ 满足 $\dot N = kN$ 且 $k$ 为常数，则 $N(t) = N(0) e^{kt}$。（你可以接受导数的非正式操作；这将在第10学期形式化。）

某培养在 6 小时内从 1,000 增长到 8,000。求翻倍时间。

2020 年世界人口 78 亿，每年增长 1.1%。2050 年是多少？

以月利率 1.2% 月复利投资 R$ 5,000：24 个月后余额？

细菌每 20 分钟翻倍。最初 200 只。4 小时后多少只？

人口的增长常数 $r = 0.05$/年。多少年人口增长 50%？

巴西人口从 2010 年 1.9 亿增长到 2024 年 2.15 亿。估计年率。

连续复利：R$ 1,000 在 6% a.a.。10 年后多少？与年复利比较。

市场研究中，新产品在发布期间每月增长 8%。多少个月翻倍？

年通胀 4%：多少年价格翻倍？

人口学中，"抚养比"（老年人/活动人口）每年增长 2%。多少年三倍？

证明若 $N(t) = N_0 \e^{kt}$，则 $\ln N$ vs $t$ 是斜率 $k$ 的直线。（这是指数数据线性回归的基础。）

定性比较纯指数增长 $\dot N = rN$ 和逻辑斯蒂增长 $\dot N = rN(1 - N/K)$。何时逻辑斯蒂更现实？

解释经验法则："翻倍时间 $\approx 70/r\%$"（70 法则）。用 $\ln 2 \approx 0.693$。

半衰期和翻倍时间是类比的。证明：对增长 $\dot N = kN$，$T_\text{dupl} = \ln 2 / k$。

COVID-19 前 30 天的增长：约 $r = 0.3$/天（翻倍时间约 2.3 天）。如果最初有 100 例，估计 30 天内多少例。（这个模型仅在初期有效——之后进入逻辑斯蒂/干预。）

牛顿冷却定律：$T(t) - T_a = (T_0 - T_a) \e^{-kt}$。证明差的半衰期为 $\ln 2 / k$。

碳-14 半衰期 5,730 年。骨头含原始 C-14 的 $\frac{1}{8}$。年龄是多少？

铀-238 半衰期 45 亿年。为何用于地质测年？多长时间衰减 25%？

医用同位素（Tc-99m）半衰期 6 小时。对初始剂量 25 mCi，24 小时后剩多少？

药代动力学中，扑热息痛半衰期约 2.5 小时。对 500 mg 剂量，何时降至 100 mg？

电容器放电：$V(t) = V_0 \e^{-t/\tau}$，$\tau = RC$。对 $R = 1\,\text{k}\Omega$，$C = 100\,\mu$F，$V_0 = 12$V：(a) $\tau$？(b) $V(0.1)$ s？(c) $V = 1$V 时？

90°C 的咖啡在 25°C 房间中冷却。10 分钟后是 75°C。用牛顿定律建模 $T(t)$。何时达到 30°C？

RL 电路中，电流增长为 $I(t) = (V/R)(1 - \e^{-Rt/L})$。对 $V = 12$V，$R = 4\,\Omega$，$L = 2$H：(a) 时间常数？(b) $I(0.5)$？(c) 何时 $I =$ 终值的 90%？

核反应堆关闭后产生功率 $P(t) = P_0 \e^{-\lambda t}$。对 $\lambda = 0.05$/h：(a) 多长时间功率降至 1%？(b) 草绘。

疾病传播（简化 SIR 模型）中，如果恢复率超过传播率，感染人数在峰值后呈指数衰减。建模"峰值后衰减"并估计 $\gamma = 0.1$/天时减少 90% 的时间。

钾-氩测年（火山岩）：K-40 半衰期 = 12.5 亿年。对 Ar/K 比 0.3 的岩石，年龄是多少？

会计折旧（"递减余额"法则）：$V(t) = V_0 (1-r)^t$。对一台 R$ 50,000 设备，$r = 15\%$/年，5 年后值是多少？10 年内折旧多少？

声学：发动机声级随距离按 $L(d) = L_0 - 20 \log_{10}(d/d_0)$ 减小。对 $L_0 = 100$ dB 在 $d_0 = 1$ m，10 m 时 $L$ 是多少？

铀-铅地质测年：U-238 → Pb-206 半衰期 = 45 亿年。对剩 80% U-238 的锆石，岩石年龄是多少？

逻辑斯蒂人口建模：$N(t) = K/(1 + A\e^{-rt})$。对 $K = 1,000$，$A = 9$，$r = 0.1$/年，$t = 0$ 对应 $N(0) = 100$。计算 $N(20)$。

经济学中，72 法则：翻倍时间 $T \approx 72/r\%$。对 $r = 5\%, 10\%, 20\%$，与精确公式 $T = \ln 2 / \ln(1+r)$ 比较。