第9课 — 平均变化率 — 微积分的入门

计算 $f(x) = x^2$ 在 $[1, 3]$ 上的 TVM。

计算 $f(x) = x^2$ 在 $[1, 5]$ 上的 TVM。

计算 $f(x) = x^2$ 在 $[2, 4]$ 上的 TVM。

计算 $g(x) = 3x - 5$ 在 $[0, 10]$ 上的 TVM。（验证它等于直线斜率 $a = 3$ — 与第3课一致。）

计算 $g(x) = 2x + 7$ 在 $[10, 20]$ 上的 TVM。与上题比较——仿射函数的 TVM 与区间无关。

预-导数。 对 $f(x) = x^2$，求区间 $[a, a+h]$ 上的 TVM 关于 $a$ 和 $h$ 的表达式。

对 $f(x) = x^3$，求区间 $[a, a+h]$ 上的 TVM。（当 $h \to 0$ 时发生什么？）

证明 $f(x) = c$（常数）在任何区间上的 TVM 是 $0$。为什么？

某车在 $t$ 秒内行驶 $s(t) = 4t^2$ 米。计算 $t = 1$ 和 $t = 3$ 之间的平均速度。

垂直抛球的高度为 $h(t) = 20t - 5t^2$（m, s）。(a) $t = 0$ 和 $t = 2$ 之间的平均速度。(b) $t = 0$ 和 $t = 4$ 之间。(c) 如果球已经回到地面，"平均"会怎样？

人口 $P(t) = 1000 e^{0.03t}$ 表示居民关于时间（年）的函数。$t = 0$ 和 $t = 10$ 之间的 TVM（平均增长）是多少？$t = 10$ 和 $t = 20$ 之间呢？

对 $f(x) = 1/x$，计算 $[1, 1+h]$ 上的 TVM 并简化。当 $h \to 0$ 时发生什么？

高考类型。 一辆车在限速 110 km/h 的公路上 54 分钟内行驶 100 km。证明司机在某瞬间必然超速。

证明：$f(x) = ax^2 + bx + c$ 在 $[p, q]$ 上的 TVM 是 $a(p+q) + b$。（用直接公式。）

证明任何仿射函数在任何区间上的 TVM 等于其斜率系数。（推广练习 9.4 和 9.5。）

计算 $f(x) = x^2$ 在 (a) $[1, 2]$；(b) $[1, 1.5]$；(c) $[1, 1.1]$；(d) $[1, 1.01]$ 上的 TVM。TVM 收敛到什么值？（这种收敛是导数 $f'(1)$。）

计算 $f(x) = x^3$ 在 $[2, 2.5]$、$[2, 2.1]$、$[2, 2.01]$ 上的 TVM。估计 $f'(2)$。

计算 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $[4, 9]$ 上的 TVM。

计算 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $[1, 4]$ 上的 TVM。

计算 $f(x) = \sin(x)$ 在 $[0, \pi/2]$ 和 $[\pi/2, \pi]$ 上的 TVM。比较并解释。

计算 $f(x) = \e^x$ 在 $[0, 1]$ 和 $[1, 2]$ 上的 TVM。为什么第二个更大？

计算 $f(x) = \ln(x)$ 在 $[1, \e]$ 和 $[\e, \e^2]$ 上的 TVM。

对 $f(x) = x^2 + 3x$，计算 $[1, 1+h]$ 上的 TVM 关于 $h$ 的函数。当 $h \to 0$ 时 TVM 趋于 5？解释。

对 $f(x) = x^2$，计算 $[a, a+h]$ 上的 TVM。证明当 $h \to 0$ 时趋于 $2a$。（你刚刚求导得 $f'(a) = 2a$。）

$f(x) = x^3$ 在哪些区间上 TVM 是正的？负的？（提示：$f$ 严格递增。）

证明偶函数在 $[-a, a]$ 上的 TVM 是零。

证明奇函数在 $[-a, a]$ 上的 TVM 是零。（与 9.26 不是同样的论证——想想为什么。）

$f(x) = |x|$ 在 $[-1, 1]$ 上的 TVM 是零。$[0, 1]$ 上的 TVM 是 1。$[-1, 0]$ 上的 TVM 是 $-1$。评论这关于图在点 $x = 0$ 的揭示。

函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，如果任何子区间上的 TVM 是正的。真还是假？解释。

画一个函数使得 $[0, 2]$ 上的 TVM = 0 但 $f$ 不是常数。（有很多——一个简单的。）

某车在 1.5 h 内行驶 120 km。平均速度？

某粒子位置 $s(t) = 4t^2$（m，$t$ 以 s 为单位）。$t = 1$ 和 $t = 3$ 之间的平均速度？

跑步者跑 $s(t) = 0.5 t^2 + 2t$（km，$t$ 以小时为单位）。(a) $t = 0$ 和 $t = 1$ 之间的平均速度？(b) $t = 0$ 和 $t = 2$ 之间？(c) 为什么第二个更大？

某城市 2010 年人口 50,000，2020 年 75,000。(a) TVM（年平均率）？(b) 保持不变，2030 年预测？

经济学中，巴西 GDP 从 2010 年 R$ 5.5 万亿增长到 2020 年 R$ 8.3 万亿（不变值）。年 TVM？

公司收入在 5 年内从 R$ 200 万增长到 R$ 350 万。月 TVM？

药代动力学中，血液浓度：$C(t) = 100\e^{-0.3t}$。$[0, 2]$ 上的 TVM？$[2, 4]$ 上呢？（衰减——TVM 是负的，且大小减小。）

细菌增长：$N(t) = 1000 \cdot 2^t$（$t$ 以小时为单位）。$[0, 3]$（3 小时）上的 TVM？与 $[3, 6]$ 上的 TVM 比较。

12 个月累计通胀 4.8%。月平均通胀是多少？（注意：不是除以 12——通胀复合。）

公司有成本 $C(q) = 0.5q^2 + 30q + 200$。$[10, 11]$ 上的成本 TVM 是生产第 11 单位的近似"边际成本"。计算。

100 米赛跑中，运动员前 30 米用 4.5 s，最后 70 米用 5.5 s。平均速度 (a) 前 30 米；(b) 最后 70 米；(c) 整个比赛。哪里跑得更快？

从 100 m 自由落下的石头高度为 $h(t) = 100 - 5t^2$。$[0, 2]$ 区间内的平均速度？$[2, t_\text{落}]$ 区间内（如果在 $t_\text{落}$ 击地）？

交通流量中，两个传感器之间车的平均速度是 $v_m = \Delta x / \Delta t$。对相距 1 km 的传感器，测量时间 50 s，计算 km/h 中的 $v_m$。

金融：某指数 4 年内从 100 涨到 144。(a) 累计回报（%）？(b) 年化回报（年复合 TVM）？

气象学中，温度从 14h 的 28°C 降到 22h 的 20°C。TVM（°C/h）？讨论"线性"在 8 小时内对温度的有效性。