第10课 — 第1学期总结:综合工作坊

求 $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ 的最大定义域。

设 $f(x) = 2^x$ 和 $g(x) = \log_2 x$。计算 $f(g(8))$ 和 $g(f(3))$。

确定经过抛物线 $y = x^2 - 4x + 7$ 顶点且斜率为2的直线方程。

解 $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$。

计算 $f(x) = 2x + 3$ 在区间 $[1, 2]$ 上的平均变化率。

设 $f(x) = x^2 + 1$ 和 $g(x) = \sqrt{x}$。确定 $(f \circ g)(x)$ 和该复合的定义域。

证明:如果 $f$ 是偶函数($f(-x) = f(x)$)且 $g$ 是奇函数($g(-x) = -g(x)$),则 $f \cdot g$ 是奇函数。

解方程组 $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$。

函数 $f(x) = (1/2)^{x-1}$ 是递增还是递减?证明你的结论。

确定 $a$,使函数 $f(x) = (a-1)x^2 + 3x - 2$ 的顶点在 $x = 1$ 处。

游泳池分两个阶段注水:前2小时,以500 L/h的恒定流量;之后,以800 L/h的恒定流量。建模体积 $V(t)$。6000 L的游泳池多长时间能注满?

电容器按 $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$ 放电,其中 $\tau = 0{,}5$s。对于 $V_0 = 12$V:(a) 在 $t = 1$s 时电压是多少?(b) 电压降到1 V需要多长时间?(c) 电压降到一半需要多长时间?

家庭收入 R\ 随教育程度 $e$(年)线性增加:$R = 800 + 200e$。(a) 每多一年学习的平均收入是多少?(b) $e$ 为何值时收入达到R$5.000?

某药物的半衰期为3小时。你现在服用100 mg。6小时后再服用100 mg。建模前12小时内的总浓度 $C(t)$。

某公司将其成本建模为 $C(q) = 50 + 20q + 0{,}5q^2$,收入为 $R(q) = 60q$。利润 $L = R - C$。(a) 利润何时为零?(b) 使利润最大化的数量是多少?

某城市估计其人口为 $P(t) = P_0 \cdot 1{,}025^t$(年)。2020年,$P_0 = 50.000$。哪一年达到100.000?

地球上的太阳辐射全年变化。在某一纬度,建模为 $I(t) = 800 + 200 \sin(\pi t / 6)$(W/m²,$t$ 以月计)。(a) 最小值?(b) 最大值?(c) 最大值出现在哪个月?

某公司有两种工人:A 固定工资R$3000/月;B 可变工资 $0{,}1 \cdot V$,其中 $V$ 是月销售额(R$)。在哪种销售量下,工资B超过工资A?

对于 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$,$f(x) = x^2 - 6x + 8$,确定:(a) 根;(b) 顶点;(c) $f$ 是单射的最大区间;(d) 该区间上的反函数。

解:$\log_2(x+3) + \log_2(x-1) = 5$。

培养物 $A$ 以每小时 $0{,}05$ 的速率增长($r_A = 0{,}05$);培养物 $B$ 以每小时 $0{,}10$ 的速率增长。在 $t = 0$ 时,$A$ 有 $1000$ 个细胞,$B$ 有 $200$ 个。两个培养物何时大小相同?

解方程组:$\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$

对于函数 $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$:(a) 确定定义域和值域;(b) 验证是否单射;(c) 求反函数。

证明:每个函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 都可以写成一个偶函数和一个奇函数的和。(提示:$f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$。)

证明:如果 $a, b > 0$ 且 $a + b = c$(常数),则当 $a = b = c/2$ 时,$a^2 + b^2$ 最小。使用二次函数技巧。