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第11课 — 直角三角形中的三角比

正弦、余弦和正切作为直角三角形边之间的比。从巴比伦(公元前1800年)到你手机里的GPS。

Used in: 高一年级 · 基础物理(向量) · 测量学

\sin\theta = \frac{\text{cat. oposto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{cat. adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Triângulo retângulo. Seno = oposto/hipotenusa, cosseno = adjacente/hipotenusa, tangente = oposto/adjacente. Mnemônico SOH-CAH-TOA: Sin = Oposto/Hipotenusa, Cos = Adjacente/Hipotenusa, Tan = Oposto/Adjacente.

Por que as razões só dependem do ângulo?

Teorema de Tales (semelhança): triângulos com mesmos ângulos são proporcionais. Logo a razão $a/c$ é a mesma em qualquer triângulo retângulo com ângulo $\theta$ — independe do tamanho.

"If two right triangles have an acute angle of equal measure, the triangles are similar; therefore, the ratios of the corresponding sides will be equal." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.2

Identidade fundamental

(1)

what this means · Identidade pitagórica. Vem direto de a² + b² = c² (Pitágoras), dividindo ambos os lados por c²: (a/c)² + (b/c)² = 1, ou seja, sin²θ + cos²θ = 1.

Valores notáveis

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30°$	$1/2$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{3}/3$
$45°$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1$
$60°$	$\sqrt{3}/2$	$1/2$	$\sqrt{3}$

Estes valores decoram-se de cabeça. Saem de triângulos $30$ - $60$ - $90$ e $45$ - $45$ - $90$ (isóceles).

Demonstração — triângulo 45-45-90

Triângulo retângulo isósceles tem catetos iguais ( $a = b$ ). Por Pitágoras: $c = a\sqrt{2}$ . Logo:

$\sin 45° = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2}, \quad \cos 45° = \frac{\sqrt 2}{2}, \quad \tan 45° = 1$

已解决的例子

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do cálculo direto das razões num triângulo 3-4-5 até a modelagem real (altura de morro com dois ângulos de visada). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Calcular sen, cos, tan num triângulo 3-4-5 (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo, o cateto oposto a $\theta$ mede 3 e o cateto adjacente mede 4. Calcule $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $\tan\theta$ .

Estratégia: Aplicar SOH-CAH-TOA diretamente. Antes precisamos da hipotenusa via Pitágoras.

Resolução:

Hipotenusa por Pitágoras: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Aplicar as definições: $\sin\theta = \frac{\text{op}}{\text{hip}} = \frac{3}{5}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hip}} = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{\text{op}}{\text{adj}} = \frac{3}{4}$

Verificação (identidade pitagórica): $\sin^2\theta + \cos^2\theta = (3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Determinar lado faltante usando sen 30° (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo, a hipotenusa vale $20$ cm e um dos ângulos agudos é $30°$ . Calcule o cateto oposto e o cateto adjacente.

Estratégia: Os valores notáveis dão $\sin 30° = 1/2$ e $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ . Substituir nas definições e isolar.

Resolução:

Cateto oposto: $\sin 30° = \dfrac{\text{op}}{20} \Rightarrow \text{op} = 20 \cdot \sin 30° = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10$ cm.
Cateto adjacente: $\cos 30° = \dfrac{\text{adj}}{20} \Rightarrow \text{adj} = 20 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm.

Verificação (Pitágoras): $10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Altura de um prédio com ângulo de elevação (intermediário)

Problema: Um observador está a 50 m da base de um prédio. O ângulo de elevação até o topo é $40°$ . Determine a altura do prédio. (Dado: $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O observador, a base do prédio e o topo formam um triângulo retângulo. A altura é o cateto oposto ao ângulo de $40°$ e a distância horizontal é o cateto adjacente. A razão correta é a tangente.

Resolução:

Identificar a razão: Conhecemos o cateto adjacente (50 m) e queremos o cateto oposto (altura $h$ ). Logo $\tan 40° = h/50$ .
Isolar $h$ : $h = 50 \cdot \tan 40° \approx 50 \cdot 0{,}839 = 41{,}95$ m.
Resposta: o prédio tem aproximadamente $42$ m de altura.

Verificação: se $h \approx 42$ e adj $= 50$ , então a hipotenusa (linha de visada) é $\sqrt{42^2 + 50^2} \approx 65{,}3$ m, e $\sin 40° \approx 42/65{,}3 \approx 0{,}643$ , que bate com a tabela. ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Applications) — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Distância via ângulo de depressão (avançado)

Problema: Um drone voa a $100$ m de altura e detecta uma pessoa no chão sob um ângulo de depressão de $25°$ (medido para baixo, a partir da horizontal). Qual a distância horizontal entre o drone e a pessoa? (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ .)

Estratégia: O ângulo de depressão entre a horizontal do drone e a linha de visada à pessoa é igual, por alternos internos, ao ângulo de elevação que a pessoa veria do chão. Logo no triângulo retângulo "drone-projeção do drone no chão-pessoa" o ângulo agudo na pessoa é $25°$ , o cateto oposto a esse ângulo é a altura $100$ m e o cateto adjacente é a distância horizontal $d$ .

Resolução:

Identificar a razão: $\tan 25° = \dfrac{\text{op}}{\text{adj}} = \dfrac{100}{d}$ .
Isolar $d$ : $d = \dfrac{100}{\tan 25°} \approx \dfrac{100}{0{,}466} \approx 214{,}6$ m.

Verificação: se $d \approx 214{,}6$ , então o ângulo de elevação visto da pessoa é $\arctan(100/214{,}6) \approx \arctan(0{,}466) \approx 25°$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Angles of Elevation/Depression) — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Altura de morro por dois ângulos de visada (modelagem real)

Problema: Um topógrafo em $A$ vê o topo de um morro sob ângulo de elevação $25°$ . Caminha $100$ m em linha reta em direção ao morro até $B$ e o ângulo passa a $40°$ . Calcule a altura $h$ do morro. (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ e $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O pé do morro está a uma distância $x$ de $B$ . De $A$ até o pé há $x + 100$ . A altura $h$ aparece em dois triângulos retângulos compartilhando o lado vertical. Igualar as duas expressões para $h$ resolve $x$ , e daí $h$ .

Resolução:

Triângulo desde $B$ : $\tan 40° = h/x \Rightarrow h = x \tan 40°$ .
Triângulo desde $A$ : $\tan 25° = h/(x + 100) \Rightarrow h = (x + 100)\tan 25°$ .
Igualar: $x \tan 40° = (x + 100)\tan 25°$ .
Isolar $x$ : $x(\tan 40° - \tan 25°) = 100 \tan 25° \Rightarrow x = \dfrac{100 \tan 25°}{\tan 40° - \tan 25°} \approx \dfrac{100 \cdot 0{,}466}{0{,}839 - 0{,}466} = \dfrac{46{,}6}{0{,}373} \approx 124{,}9$ m.
Altura: $h = x \tan 40° \approx 124{,}9 \cdot 0{,}839 \approx 104{,}8$ m.

Verificação cruzada: com $h \approx 104{,}8$ e $x + 100 \approx 224{,}9$ , então $\tan(\text{ângulo em }A) \approx 104{,}8/224{,}9 \approx 0{,}466$ , que corresponde a $25°$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 (Applications of Right Triangle Trigonometry) — licença CC-BY-NC-SA.

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 12Modeling 15Challenge 3Proof 2

Ex. 11.1ApplicationAnswer key
Num triângulo retângulo, o ângulo agudo $\theta$ tem cateto oposto $3$ e cateto adjacente $4$ . Calcule $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $\tan\theta$ .
Solve online
Ex. 11.2ApplicationAnswer key
Um triângulo retângulo tem catetos $5$ e $12$ . Calcule a hipotenusa e $\sin, \cos, \tan$ do ângulo oposto ao cateto de medida $5$ .
Solve online
Ex. 11.3ApplicationAnswer key
Hipotenusa $= 13$ e cateto oposto a $\theta$ vale $5$ . Calcule $\sin\theta$ e $\cos\theta$ .
Solve online
Ex. 11.4Application
Calcule $\sin 30°$ , $\cos 30°$ e $\tan 30°$ exatos.
Solve online
Ex. 11.5Application
Calcule $\sin 60°$ , $\cos 60°$ e $\tan 60°$ exatos.
Solve online
Ex. 11.6ApplicationAnswer key
Calcule $\sin 45°$ , $\cos 45°$ e $\tan 45°$ exatos.
Solve online
Ex. 11.7Application
Se $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$ ?
Solve online
Ex. 11.8Application
Se $\cos\theta = 1/2$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$ ?
Solve online
Ex. 11.9Application
Se $\tan\theta = 1$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$ ?
Solve online
Ex. 11.10Application
Num triângulo $30°$ - $60°$ - $90°$ com hipotenusa $10$ , calcule os catetos.
Solve online
Ex. 11.11Application
Se $\sin\theta = 3/5$ e $\theta$ é agudo, calcule $\cos\theta$ .
Solve online
Ex. 11.12Application
Se $\cos\theta = 5/13$ e $\theta$ é agudo, calcule $\sin\theta$ e $\tan\theta$ .
Solve online
Ex. 11.13Application
Se $\tan\theta = 2/3$ e $\theta$ é agudo, calcule $\sin\theta$ e $\cos\theta$ .
Solve online
Ex. 11.14Understanding
Verifique a identidade $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ usando os valores notáveis.
Solve online
Ex. 11.15UnderstandingAnswer key
Mostre que $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ a partir das definições no triângulo retângulo.
Ex. 11.16Understanding
Mostre que $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ a partir do triângulo retângulo.
Ex. 11.17Understanding
Para $\theta$ agudo, qual é maior: $\sin 60°$ ou $\cos 60°$ ? Por quê?
Solve online
Ex. 11.18Understanding
Mostre que $\sin\theta < 1$ para todo $\theta$ agudo.
Ex. 11.19Understanding
Para $\theta_1, \theta_2$ agudos com $\theta_1 < \theta_2$ : mostre que $\sin\theta_1 < \sin\theta_2$ (seno é crescente em $(0°, 90°)$ ).
Solve online
Ex. 11.20Understanding
Mostre que $\tan\theta \to +\infty$ quando $\theta \to 90°^-$ .
Ex. 11.21Application
Num triângulo retângulo com hipotenusa $20$ cm e ângulo agudo $35°$ , calcule os catetos. (Use $\sin 35° \approx 0{,}574$ e $\cos 35° \approx 0{,}819$ .)
Solve online
Ex. 11.22ApplicationAnswer key
Cateto oposto $= 6$ e ângulo $\theta = 40°$ . Calcule a hipotenusa. (Use $\sin 40° \approx 0{,}643$ .)
Solve online
Ex. 11.23Application
Cateto adjacente $= 10$ e ângulo $\theta = 25°$ . Calcule o cateto oposto. (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ .)
Solve online
Ex. 11.24Application
Hipotenusa $= 25$ , cateto oposto $= 7$ . Calcule o ângulo $\theta$ .
Solve online
Ex. 11.25Application
Catetos $8$ e $15$ . Calcule os dois ângulos agudos.
Solve online
Ex. 11.26UnderstandingAnswer key
Num triângulo equilátero de lado $\ell$ , calcule a altura usando trigonometria. Compare com o resultado por Pitágoras.
Solve online
Ex. 11.27Understanding
Num quadrado de lado $\ell$ , calcule a diagonal usando trigonometria.
Solve online
Ex. 11.28Understanding
Mostre que $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45°)$ usando soma de ângulos. (Preview Lição 12.)
Ex. 11.29UnderstandingAnswer key
Em um triângulo retângulo com cateto adjacente $b$ e hipotenusa $c$ , expresse $\tan\theta$ em função de $b$ e $c$ .
Solve online
Ex. 11.30Understanding
Calcule (sem calculadora) $\sin 75°$ . (Dica: $75° = 45° + 30°$ . Use fórmula da soma — pesquise se necessário.)
Solve online
Ex. 11.31Modeling
Uma escada de $5$ m está apoiada na parede formando ângulo de $70°$ com o chão. A que altura toca a parede?
Solve online
Ex. 11.32ModelingAnswer key
Você está a $50$ m da base de uma torre. O ângulo de elevação do topo é $40°$ . Qual a altura?
Solve online
Ex. 11.33Modeling
Um avião decola e alcança $1\,500$ m de altitude horizontal a $5$ km da pista. Qual o ângulo de subida?
Solve online
Ex. 11.34Modeling
Um navio observa um farol a $200$ m de altura sob ângulo de elevação $3°$ . A que distância o navio está do farol?
Solve online
Ex. 11.35ModelingAnswer key
Uma rampa de acessibilidade tem inclinação máxima de $5°$ (NBR 9050 admite até $\sim 8{,}33\%$ ). Para superar $80$ cm de altura, qual o comprimento mínimo da rampa?
Solve online
Ex. 11.36Modeling
Num eclipse solar, a Lua tem diâmetro angular $0{,}5°$ visto da Terra. Diâmetro real: $3\,474$ km. Calcule a distância Terra-Lua. (Use $\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$ .)
Solve online
Ex. 11.37ModelingAnswer key
Uma força de $200$ N é aplicada num corpo numa direção formando $30°$ com a horizontal. Calcule componentes horizontal e vertical da força.
Solve online
Ex. 11.38Modeling
Um bloco de $50$ kg está sobre uma rampa de $20°$ . Qual a força paralela à rampa que tende a fazer o bloco escorregar? ( $g = 10$ m/s².)
Solve online
Ex. 11.39Modeling
A torre Eiffel tem $324$ m. A que ângulo você vê o topo se está a $500$ m da base?
Solve online
Ex. 11.40Modeling
Um drone está a $100$ m de altura e detecta uma pessoa no chão sob ângulo $30°$ abaixo do horizonte (depressão). Distância horizontal drone-pessoa?
Solve online
Ex. 11.41Modeling
Um topógrafo está num ponto $A$ e mede o topo de um morro sob ângulo de $25°$ . Anda $100$ m em direção ao morro até $B$ e o ângulo passa a $40°$ . Calcule a altura do morro. (Sistema de duas equações.)
Solve online
Ex. 11.42ModelingAnswer key
Um cabo de aço sustenta uma antena de $30$ m fixa ao chão a $12$ m da base. Qual o comprimento do cabo? Qual o ângulo do cabo com o chão?
Solve online
Ex. 11.43Modeling
Em um pêndulo de $1$ m, o fio forma ângulo $15°$ com a vertical no extremo. Qual a altura do extremo acima do ponto de equilíbrio?
Solve online
Ex. 11.44Modeling
GPS calcula sua posição usando ângulos para 4 satélites. Modelo simplificado 2D: dois satélites em $(0,\ 20\,000)$ km e $(15\,000,\ 25\,000)$ km enxergam você sob ângulos $\alpha, \beta$ com a vertical. (Esboce, não resolva — visualize triangulação.)
Solve online
Ex. 11.45Modeling
Uma estrada faz uma curva em V com aclive de $8\%$ seguido de declive de $5\%$ . Calcule os ângulos de aclive e declive em graus.
Solve online
Ex. 11.46Challenge
Mostre que $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ . (Aplicação direta da fórmula da soma com $\alpha = \beta = \theta$ .)
Ex. 11.47Challenge
Em um triângulo retângulo, mostre que área $= \dfrac{1}{2} c^2 \sin\theta \cos\theta$ onde $c$ é hipotenusa e $\theta$ um dos ângulos agudos.
Solve online
Ex. 11.48Challenge
Resolva: $\sin\theta + \cos\theta = 1$ para $\theta \in [0°, 90°]$ .
Solve online
Ex. 11.49Proof
Demonstre $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ usando o triângulo retângulo e Pitágoras.
Ex. 11.50Proof
Mostre que $\sin\theta = \cos(90° - \theta)$ para todo $\theta \in (0°, 90°)$ .

参考文献

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.2: razões trigonométricas, identidades pitagóricas, aplicações. Fonte primária dos blocos A, C, D.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.2-10.4: trigonometria de ângulo agudo, soma e diferença, equações trigonométricas. Fonte do bloco B e do exemplo 5.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · referência nativa em português, valores notáveis e triângulos especiais.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · cap. 2 (vetores), cap. 5 (forças em planos inclinados), §15.1 (pêndulo). Fonte do bloco D (modelagem em física).