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第12课 — 三角圆和弧度

通过单位圆推广三角比。弧度作为自然单位。基本恒等式和周期性。

Used in: 高一年级

P(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta) \quad \text{no círculo unitário}

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição via círculo unitário

"The unit circle is a circle of radius 1 centered at the origin. The (x, y) coordinates of a point on this circle, where the angle in standard position is t, are (cos t, sin t)." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.3

Radianos vs graus

(1)

what this means · Um radiano é o ângulo central que subtende um arco de comprimento igual ao raio. Como o perímetro do círculo unitário é 2π, uma volta inteira (360°) equivale a 2π radianos. Em cálculo, sempre usa-se radianos: as identidades (sin x)' = cos x só valem nessa unidade.

Círculo trigonométrico. Para cada ângulo θ, o ponto P(θ) = (cos θ, sin θ). Periodicidade: girar 2π volta ao ponto inicial.

Identidade pitagórica

what this means · A identidade pitagórica generalizada para qualquer ângulo real, não apenas agudo. Vale para todo θ ∈ ℝ.

Periodicidade

$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$ e $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ para todo $\theta \in \mathbb{R}$ .

Sinais por quadrante

Quadrante	$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
I	$(0, \pi/2)$	+	+	+
II	$(\pi/2, \pi)$	+	−	−
III	$(\pi, 3\pi/2)$	−	−	+
IV	$(3\pi/2, 2\pi)$	−	+	−

Ângulos especiais

$\theta$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$\sin$	$0$	$1/2$	$\sqrt 2/2$	$\sqrt 3/2$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos$	$1$	$\sqrt 3/2$	$\sqrt 2/2$	$1/2$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Identidades de simetria

$\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad (\sin \text{ é ímpar})$ $\cos(-\theta) = \cos\theta \quad (\cos \text{ é par})$ $\sin(\theta + \pi/2) = \cos\theta, \quad \cos(\theta + \pi/2) = -\sin\theta$

已解决的例子

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da conversão direta graus↔rad até soma de ângulos para encontrar valores fora da tabela. Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 2· Valor de seno e cosseno em ângulo de quadrante II (aplicação)

Problema: Calcule $\sin(2\pi/3)$ e $\cos(2\pi/3)$ usando o círculo unitário.

Estratégia: Identificar o quadrante, encontrar o ângulo de referência (agudo correspondente no primeiro quadrante), aplicar a tabela e ajustar o sinal.

Resolução:

Quadrante: $2\pi/3 \approx 2{,}094$ rad e $\pi/2 \approx 1{,}571 < 2\pi/3 < \pi \approx 3{,}14$ . Quadrante II.
Ângulo de referência: $\pi - 2\pi/3 = \pi/3$ (a distância angular até a borda do quadrante).
Aplicar a tabela: $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ e $\cos(\pi/3) = 1/2$ .
Ajustar sinais (quadrante II): $\sin > 0$ , $\cos < 0$ . Logo $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$ e $\cos(2\pi/3) = -1/2$ .

Verificação (identidade): $(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Reduzir ângulo grande pela periodicidade (intermediário)

Problema: Calcule $\cos(13\pi/4)$ .

Estratégia: O ângulo é maior que $2\pi$ , então primeiro reduzimos pela periodicidade ( $\cos$ tem período $2\pi$ ). Em seguida, identificamos quadrante e ângulo de referência.

Resolução:

Reduzir mod $2\pi$ : $13\pi/4 - 2\pi = 13\pi/4 - 8\pi/4 = 5\pi/4$ . Como $5\pi/4 < 2\pi$ , paramos.
Quadrante: $\pi < 5\pi/4 < 3\pi/2$ . Quadrante III.
Ângulo de referência: $5\pi/4 - \pi = \pi/4$ .
Tabela: $\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ .
Sinal (quadrante III): $\cos < 0$ . Logo $\cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ , e portanto $\cos(13\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ .

Verificação: computacionalmente, $\cos(13\pi/4) \approx \cos(10{,}21) \approx -0{,}7071 \approx -\sqrt{2}/2$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Verificar identidade de simetria (avançado)

Problema: Mostre que $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ para todo $\theta \in \mathbb{R}$ .

Estratégia: Usar a fórmula da diferença/soma de cossenos com valores conhecidos no círculo: $\cos\pi = -1$ , $\sin\pi = 0$ .

Resolução:

Aplicar fórmula: $\cos(\theta + \pi) = \cos\theta \cos\pi - \sin\theta \sin\pi$ .
Substituir: $\cos\pi = -1$ , $\sin\pi = 0$ . Então $\cos(\theta + \pi) = \cos\theta \cdot (-1) - \sin\theta \cdot 0 = -\cos\theta$ .

Interpretação geométrica: somar $\pi$ ao ângulo equivale a refletir o ponto $P(\theta)$ pela origem no círculo unitário. As duas coordenadas trocam de sinal: $(\cos\theta, \sin\theta) \to (-\cos\theta, -\sin\theta)$ . Daí $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ e $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ .

Verificação numérica: $\cos(\pi/4 + \pi) = \cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2 = -\cos(\pi/4)$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.4 (Sum and Difference Identities) — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Calcular sin 75° pela soma de ângulos (modelagem real)

Problema: Calcule $\sin(75°)$ exato sem calculadora, usando $75° = 45° + 30°$ .

Estratégia: Aplicar a fórmula da soma $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ com valores notáveis.

Resolução:

Decomposição: $75° = 45° + 30°$ .
Fórmula da soma: $\sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$ .
Substituir notáveis: $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 30° = \frac{1}{2}$
Calcular: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Verificação numérica: $(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4 \approx (2{,}449 + 1{,}414)/4 \approx 0{,}9659$ , e $\sin 75° \approx 0{,}9659$ . ✓

Aplicação: este tipo de cálculo aparece em desenho técnico, design de engrenagens (ângulos não múltiplos de 30° ou 45°) e em modelos físicos de defasagem entre sinais.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.2 (Sum and Difference Identities) — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 9Challenge 1

Ex. 12.1Application
Converta $60°$ para radianos.
Solve online
Ex. 12.2Application
Converta $225°$ para radianos.
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Ex. 12.3Application
Converta $120°$ para radianos.
Solve online
Ex. 12.4Application
Converta $\pi/3$ rad para graus.
Solve online
Ex. 12.5ApplicationAnswer key
Converta $7\pi/4$ rad para graus.
Solve online
Ex. 12.6ApplicationAnswer key
Converta $1$ rad para graus (aproximadamente).
Solve online
Ex. 12.7Application
Converta $90°$ para radianos.
Solve online
Ex. 12.8Application
Converta $-150°$ para radianos.
Solve online
Ex. 12.9ApplicationAnswer key
Converta $\pi/12$ rad para graus.
Solve online
Ex. 12.10Application
Converta $400°$ para radianos.
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Ex. 12.11ApplicationAnswer key
Calcule $\sin(\pi/6)$ e $\cos(\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.12ApplicationAnswer key
Calcule $\sin(2\pi/3)$ e $\cos(2\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.13Application
Calcule $\sin(\pi)$ e $\cos(\pi)$ .
Solve online
Ex. 12.14Application
Calcule $\sin(3\pi/2)$ e $\cos(3\pi/2)$ .
Solve online
Ex. 12.15Application
Calcule $\sin(7\pi/6)$ e $\cos(7\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.16Application
Calcule $\sin(11\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.17Application
Calcule $\cos(5\pi/4)$ .
Solve online
Ex. 12.18Application
Calcule $\sin(5\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.19Application
Calcule $\tan(\pi/3)$ .
Solve online
Ex. 12.20Application
Calcule $\tan(7\pi/6)$ .
Solve online
Ex. 12.21Understanding
Verifique $\sin^2(\pi/3) + \cos^2(\pi/3) = 1$ .
Solve online
Ex. 12.22Understanding
Mostre que $\sin(-\pi/4) = -\sin(\pi/4)$ .
Ex. 12.23UnderstandingAnswer key
Mostre que $\cos(-\pi/3) = \cos(\pi/3)$ .
Ex. 12.24Understanding
Calcule $\sin(105°) = \sin(60° + 45°)$ usando fórmula da soma.
Solve online
Ex. 12.25UnderstandingAnswer key
Calcule $\cos(15°) = \cos(45° - 30°)$ .
Solve online
Ex. 12.26Understanding
Calcule $\sin(2 \cdot 30°) = 2\sin 30° \cos 30°$ . Verifique se é igual a $\sin 60°$ .
Solve online
Ex. 12.27Understanding
Mostre que $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ .
Ex. 12.28Understanding
Mostre que $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ .
Ex. 12.29Understanding
Determine $\theta \in [0, 2\pi)$ tal que $\sin\theta = \cos\theta$ .
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Ex. 12.30Understanding
Em qual quadrante $\sin\theta > 0$ e $\cos\theta < 0$ ?
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Ex. 12.31ModelingAnswer key
Um disco de vinil gira a 33 rotações por minuto (rpm). Calcule a velocidade angular em rad/s.
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Ex. 12.32Modeling
Um pêndulo descreve arco de 30°. Qual o comprimento do arco se o fio tem $1{,}5$ m?
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Ex. 12.33Modeling
Num relógio analógico, o ponteiro dos minutos gira 360° por hora. Velocidade angular em rad/min?
Solve online
Ex. 12.34Modeling
A Terra gira 360° em 24 h. Velocidade angular em rad/h e rad/s?
Solve online
Ex. 12.35Modeling
Em DSP, $y(t) = \sin(\omega t)$ tem $\omega = 2\pi f$ . Para $f = 60$ Hz (rede elétrica brasileira), qual $\omega$ ?
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Ex. 12.36ModelingAnswer key
Um motor gira a $1\,800$ rpm. Velocidade angular em rad/s?
Solve online
Ex. 12.37Modeling
A roda de bicicleta tem raio $35$ cm. Se a velocidade linear é $20$ km/h, qual a velocidade angular em rad/s?
Solve online
Ex. 12.38Modeling
Em GPS, satélites orbitam a Terra a $\sim 14\,000$ km/h em órbita circular de raio $26\,600$ km. Velocidade angular em rad/h?
Solve online
Ex. 12.39Modeling
Em mecânica, a fase é $\theta(t) = \omega t + \varphi$ . Para $\omega = 2\pi$ rad/s e $\varphi = \pi/4$ , calcule $\theta(0)$ e $\theta(1)$ .
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Ex. 12.40ChallengeAnswer key
Uma máquina rotativa fica em equilíbrio se $\sum F_i \cos\theta_i = 0$ . Verifique para 3 forças iguais a 120° uma da outra (motor trifásico).
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参考文献

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.1 (ângulos), §5.3 (círculo unitário), §9.2-9.3 (soma, diferença, duplo ângulo). Fonte primária dos blocos A, B, C.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.1 (ângulos), §10.3 (círculo unitário), §10.4-10.5 (identidades). Fonte do bloco C e dos exemplos 3-4.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · referência nativa em português, conversões e ângulos notáveis.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §10.1 (variáveis rotacionais), §13.5 (Kepler). Fonte do bloco D (modelagem em física).
University Physics (Volume 2) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §15.2-15.3 (circuitos AC). Fonte do exercício 12.40 (motor trifásico).
Active Calculus — Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: precálculo trigonométrico — bridge para Lição 13.