第13课 — 三角函数

Esboce $y = 2\sin x$ em $[0, 2\pi]$. Identifique amplitude e período.

Esboce $y = \sin(2x)$. Período?

Esboce $y = \cos(x/2)$. Período?

Esboce $y = \sin(x - \pi/4)$. Defasagem?

Esboce $y = 3\sin x + 1$. Identifique a imagem.

Identifique amplitude, período e fase em $y = 4\sin(3x - \pi)$.

Identifique imagem de $y = 2\cos x - 1$.

Para $y = \sin(\pi t)$, qual o período em segundos?

Para $y = \cos(2\pi t/T)$, mostre que o período é $T$.

Esboce $y = \tan x$ em $(-\pi/2, \pi/2)$.

Resolva $\sin x = 1/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\cos x = 0$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\tan x = 1$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin x = -\sqrt{2}/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\cos(2x) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin x = \cos x$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $2\sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin^2 x = 1/4$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\sin(x + \pi/3) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$.

Resolva $\tan(2x) = \sqrt{3}$ em $[0, 2\pi)$.

A maré em Salvador oscila entre $0{,}5$ m e $2{,}5$ m com período $12$ h. Modele a altura $h(t)$ supondo que em $t = 0$ a maré está no nível médio e subindo.

Tensão da rede elétrica brasileira: $V(t) = 311 \sin(120\pi t)$ V. Tensão eficaz?

A altura de uma cadeirinha de roda gigante (raio 10 m, eixo a 12 m do solo) gira 1 volta a cada 4 min. Modele $h(t)$ supondo que parte do ponto mais baixo em $t = 0$.

Som puro de 440 Hz tem $p(t) = A \sin(880\pi t)$. Quantas oscilações em 1 segundo?

A temperatura média mensal em Brasília oscila entre $18°$C (julho) e $23°$C (outubro). Modele $T(m)$ com $m$ em meses (1 = janeiro).

Pêndulo de comprimento $1$ m oscila a $\omega = \sqrt{g/L}$. Para $g = 9{,}81$ m/s², qual o período?

Sistema massa-mola: $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m. Frequência natural $\omega = \sqrt{k/m}$. Calcule.

Em mecânica vibratória, $x(t) = 5 \sin(2\pi t)$ cm. Velocidade máxima?

Marés sob influência só lunar (M2): período $T = 12$ h $25$ min. Frequência em Hz?

Uma estrela cefeida varia brilho com $T = 5{,}4$ dias e amplitude $0{,}8$ magnitudes em torno de uma média de $4{,}5$ mag. Modele $m(t)$.

A profundidade de mergulho de um submarino oscila como $d(t) = 100 + 30 \sin(\pi t/30)$ m. Profundidade máxima e mínima? Período?

Em GPS, sinal portador L1 de $1\,575{,}42$ MHz. Período em segundos?

Mostre que $\sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3) = 0$ para todo $x$. (Resultado por trás de motores trifásicos.)

Esboce $y = \sin x + \sin 3x$. (Lições de Fourier — somar harmônicas.)

Mostre que $A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) = \sqrt{A^2 + B^2} \sin(\omega t + \varphi)$ com $\tan\varphi = B/A$.

Verifique: $\sin x + \sin(x + \pi) = 0$.

Resolva $\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$ em $[0, 2\pi)$. (Use $u = \sin x$.)

Resolva $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$.

Demonstre $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Demonstre que $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ usando o círculo trigonométrico.