第14课 — 三角方程与三角不等式

解的结构

含正弦的方程

对于 $\sin x = a$，$a \in [-1, 1]$： $x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

其中 $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ 是主反函数。

含余弦的方程

对于 $\cos x = a$，$a \in [-1, 1]$： $x = \pm \arccos a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

其中 $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$。

含正切的方程

对于 $\tan x = a$，$a \in \mathbb{R}$： $x = \arctan a + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$

其中 $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$。

一般步骤

求解三角方程 $f(x) = 0$：

1. 通过恒等式化简为基本方程 $\sin x = a$、$\cos x = a$、$\tan x = a$。
2. 列出区间 $[0, 2\pi)$（或 $[-\pi, \pi]$）内的所有解。
3. 加上 $2k\pi$（正切则加 $k\pi$）推广到一般解。