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第15课 — 正弦定理和余弦定理

求解任意三角形(非直角)。在测量学、导航和物理中的应用。

Used in: 高一年级(15岁) · 日本数学II(第図形と計量章) · 三角学 — 美国预科

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Demonstrações e uso

Lei dos senos

what this means · Vale para qualquer triângulo (agudo, obtuso, retângulo). R é o raio do círculo circunscrito.

Demonstração (para triângulo agudo): construa a altura $h$ do vértice $C$ ao lado $\overline{AB}$ . Então $h = b \sin A = a \sin B$ . Logo $a/\sin A = b/\sin B$ . Mesmo argumento para $c$ . ∎

Caso especial (retângulo em $C$ ): $\sin C = 1$ , então $c = 2R$ — a hipotenusa é diâmetro do círculo circunscrito. Teorema de Tales (geométrico).

Lei dos cossenos

what this means · Generaliza Pitágoras. Quando C = 90°, cos C = 0 e recupera-se c² = a² + b².

Demonstração: pelo produto escalar de vetores $\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}$ : $|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}$

Como $\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}||\vec{CA}|\cos C = ab \cos C$ , obtém-se $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ . ∎

Quando usar cada lei

Tem	Quer	Use
2 ângulos + 1 lado (AAS, ASA)	os outros lados	Lei dos senos
2 lados + ângulo oposto a um (SSA)	restantes (ambíguo!)	Lei dos senos
2 lados + ângulo entre eles (SAS)	terceiro lado	Lei dos cossenos
3 lados (SSS)	algum ângulo	Lei dos cossenos invertida

Caso ambíguo (SSA)

Dado $a$ , $b$ , e $A$ (ângulo oposto a $a$ ): pode haver 0, 1 ou 2 triângulos. Decisão:

Se $a \geq b$ : 1 triângulo.
Se $a < b \sin A$ : 0 triângulos (impossível).
Se $b \sin A < a < b$ : 2 triângulos.

Área de triângulo

$\text{Área} = \frac{1}{2} ab \sin C = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

(Fórmula direta + fórmula de Heron, com semi-perímetro $s = (a+b+c)/2$ .)

"The Law of Sines can be used to solve oblique triangles, which are non-right triangles." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1

已解决的例子

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (lei dos senos AAS) ao modelagem real (cinemática inversa de braço robótico). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Lei dos senos AAS (aplicação)

Problema: Em um triângulo $ABC$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ e o lado $a = 8$ . Calcule o lado $b$ .

Estratégia: Temos dois ângulos e um lado oposto a um deles (caso AAS). A lei dos senos resolve diretamente: monta-se a razão e isola-se $b$ .

Resolução:

Aplicar a lei dos senos. $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ , ou seja, $\dfrac{8}{\sin 30°} = \dfrac{b}{\sin 45°}$ .
Substituir valores notáveis. $\sin 30° = 1/2$ , $\sin 45° = \sqrt 2 / 2$ .
Isolar $b$ . $b = 8 \cdot \dfrac{\sin 45°}{\sin 30°} = 8 \cdot \dfrac{\sqrt 2 / 2}{1/2} = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31$ .

$b = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31.$

Verificação: Como $B > A$ , devemos ter $b > a$ . De fato $11{,}31 > 8$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Lei dos cossenos SAS (aplicação)

Problema: Um triângulo tem lados $a = 5$ , $b = 7$ e o ângulo entre eles $C = 60°$ . Calcule o terceiro lado $c$ .

Estratégia: Temos dois lados e o ângulo entre eles (SAS). É exatamente o caso da lei dos cossenos para encontrar o lado oposto ao ângulo dado.

Resolução:

Aplicar a lei. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ .
Substituir. $c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \tfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$ .
Extrair raiz. $c = \sqrt{39} \approx 6{,}24$ .

Verificação: $c$ deve estar entre $|a - b| = 2$ e $a + b = 12$ (desigualdade triangular). $6{,}24 \in (2, 12)$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §11.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Lei dos cossenos invertida — encontrar ângulo a partir de 3 lados (intermediário)

Problema: Um triângulo tem lados $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Calcule o ângulo $C$ .

Estratégia: SSS — três lados conhecidos. Use a lei dos cossenos isolada para $\cos C$ e aplique $\arccos$ .

Resolução:

Reescrever a lei dos cossenos. $\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ .
Substituir. $\cos C = \dfrac{25 + 36 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .
Aplicar arccos. $C = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46°$ .

$C \approx 78{,}46°.$

Verificação: Como o triângulo é "quase" isósceles e $c$ é o maior lado, esperamos $C$ ser o maior ângulo. Pela lei dos cossenos: $A = \arccos((36+49-25)/(2\cdot 6 \cdot 7)) = \arccos(60/84) \approx 44{,}42°$ , $B \approx 57{,}12°$ . Soma: $44{,}42 + 57{,}12 + 78{,}46 \approx 180°$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §10.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Caso ambíguo SSA (avançado)

Problema: Um triângulo tem $a = 5$ , $b = 8$ , $A = 30°$ . Quantos triângulos satisfazem essas condições? Encontre todos.

Estratégia: SSA é o caso ambíguo. Calcule $h = b \sin A$ e compare com $a$ para decidir 0, 1 ou 2 triângulos. Depois, use a lei dos senos para cada possibilidade.

Resolução:

Calcular $h$ . $h = b \sin A = 8 \cdot \sin 30° = 8 \cdot 0{,}5 = 4$ .
Decidir o número de soluções. Como $h = 4 < a = 5 < b = 8$ , há dois triângulos.
Aplicar a lei dos senos. $\dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \dfrac{8 \cdot 0{,}5}{5} = 0{,}8$ .
Achar os dois ângulos $B$ . $B_1 = \arcsin(0{,}8) \approx 53{,}13°$ e $B_2 = 180° - 53{,}13° \approx 126{,}87°$ .
Calcular $C$ em cada caso. $C_1 = 180° - 30° - 53{,}13° = 96{,}87°$ . $C_2 = 180° - 30° - 126{,}87° = 23{,}13°$ .
Calcular $c$ em cada caso. $c_1 = a \cdot \sin C_1 / \sin A = 5 \cdot \sin 96{,}87° / 0{,}5 \approx 9{,}93$ . $c_2 = 5 \cdot \sin 23{,}13° / 0{,}5 \approx 3{,}93$ .

Verificação: Em cada triângulo, $A + B + C = 180°$ e a desigualdade triangular vale (todos os lados positivos com $|a-b| < c < a+b$ ). Confere para ambos.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §11.2 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Topografia — distância pelo terceiro vértice (modelagem real)

Problema: Para medir a distância $AB$ entre dois pontos separados por um rio, um topógrafo escolhe um ponto $C$ na sua margem com $AC = 50$ m, $BC = 70$ m e mede o ângulo $\hat{ACB} = 60°$ . Calcule $AB$ .

Estratégia: Cenário SAS clássico — dois lados $AC$ e $BC$ conhecidos e o ângulo entre eles. Lei dos cossenos resolve diretamente para o lado oposto $AB$ .

Resolução:

Identificar a configuração. Triângulo $ABC$ com lados $b = AC = 50$ m, $a = BC = 70$ m e ângulo $C = 60°$ entre eles. Quero o terceiro lado $c = AB$ .
Aplicar a lei dos cossenos. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 70^2 + 50^2 - 2 \cdot 70 \cdot 50 \cdot \cos 60°$ .
Calcular. $c^2 = 4900 + 2500 - 7000 \cdot 0{,}5 = 7400 - 3500 = 3900$ .
Extrair raiz. $c = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39} \approx 62{,}45$ m.

$AB \approx 62{,}45\ \text{m}.$

Verificação: Como o ângulo $C$ é agudo e os lados $a, b$ não são muito diferentes, o lado oposto deve ser comparável a eles. $62{,}45$ está entre $|70-50| = 20$ e $70+50 = 120$ , dentro da desigualdade triangular. Confere.

Fonte. OpenStax — University Physics Vol. 1, cap. 2 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 2Modeling 12Proof 3

Ex. 15.1Application
Triângulo com $a = 8$ , $A = 30°$ , $B = 45°$ . Calcule $b$ .
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Ex. 15.2Application
Triângulo com $a = 12$ , $A = 50°$ , $B = 70°$ . Calcule $b$ e $c$ .
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Ex. 15.3Application
Triângulo com $a = 5$ , $b = 8$ , $A = 30°$ . Quantos triângulos são possíveis?
Solve online
Ex. 15.4Application
Triângulo com $b = 10$ , $B = 45°$ , $A = 60°$ . Calcule $a$ .
Solve online
Ex. 15.5Application
Em um triângulo $ABC$ , $A = 40°$ , $B = 80°$ , $a = 7$ . Calcule $C$ e $c$ .
Solve online
Ex. 15.6Application
Triângulo com $a = 6$ , $A = 35°$ , $B = 50°$ . Calcule a área.
Solve online
Ex. 15.7Application
Lei dos senos: $a/\sin 30° = c/\sin 90°$ . Para $a = 4$ , calcule $c$ .
Solve online
Ex. 15.8Application
Em um triângulo, $a = 10$ , $b = 7$ , $A = 90°$ . Confirme com lei dos senos que $\sin B = 0{,}7$ .
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Ex. 15.9Application
Triângulo: $A = 50°$ , $a = 12$ . Determine o raio $R$ do círculo circunscrito.
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Ex. 15.10Understanding
Mostre que num triângulo equilátero ( $A = B = C = 60°$ ), $a = b = c$ .
Ex. 15.11Application
Triângulo com $a = 5$ , $b = 7$ , $C = 60°$ . Calcule $c$ .
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Ex. 15.12Application
Triângulo com $a = 8$ , $b = 6$ , $C = 90°$ . Calcule $c$ . (Recupere Pitágoras.)
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Ex. 15.13ApplicationAnswer key
Triângulo com $a = 4$ , $b = 3$ , $C = 120°$ . Calcule $c$ .
Solve online
Ex. 15.14Application
Triângulo com $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ . Calcule $C$ .
Solve online
Ex. 15.15ApplicationAnswer key
Triângulo com $a = 10$ , $b = 12$ , $c = 15$ . Determine os 3 ângulos.
Solve online
Ex. 15.16Application
Em um triângulo, $a = 12$ , $b = 8$ , $A = 80°$ . Use a lei dos senos para $B$ e depois calcule $c$ .
Solve online
Ex. 15.17Application
Triângulo $ABC$ : $a = 4$ , $b = 5$ , $c = 6$ . Calcule a área pela fórmula de Heron.
Solve online
Ex. 15.18Application
Em um triângulo equilátero de lado $\ell$ , mostre via lei dos cossenos que cada ângulo é $60°$ .
Solve online
Ex. 15.19ApplicationAnswer key
Triângulo com lados $7, 24, 25$ . Verifique que é retângulo via lei dos cossenos.
Solve online
Ex. 15.20UnderstandingAnswer key
Quando $C \to 0$ , a lei dos cossenos $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ tende a quê? Interprete geometricamente.
Solve online
Ex. 15.21ModelingAnswer key
Você caminha 5 km a leste, depois vira $60°$ ao norte e anda mais 3 km. Distância da origem?
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Ex. 15.22Modeling
Um navio sai do porto, navega 12 km a noroeste, depois 8 km a nordeste. Distância da origem?
Solve online
Ex. 15.23ModelingAnswer key
Um drone observa dois pontos $A$ e $B$ no chão sob ângulos de elevação $50°$ e $70°$ (mesma linha radial). Drone a $200$ m de altura. Calcule $AB$ .
Solve online
Ex. 15.24Modeling
Dois lados de um terreno triangular medem $80$ m e $100$ m, formando ângulo de $75°$ entre eles. Comprimento do terceiro lado?
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Ex. 15.25Modeling
Em um campo de futebol, um atacante chuta da posição que vê o gol de $6$ metros sob ângulo de $20°$ . Estime a distância gol-atacante (suponha o ângulo simétrico).
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Ex. 15.26Modeling
Topografia: meça $AB$ entre dois pontos separados por um rio. Você está em $C$ , com $\hat{ACB} = 60°$ , $AC = 50$ m, $BC = 70$ m. Distância $AB$ ?
Solve online
Ex. 15.27Modeling
Astronomia: paralaxe estelar de $1$ arc-segundo corresponde a $1$ parsec $\approx 206\,265$ UA. Confirme via $\tan(1'') \cdot d = 1$ UA.
Solve online
Ex. 15.28Modeling
Um triângulo de irrigação tem lados $100$ m, $120$ m e $80$ m. Calcule a área.
Solve online
Ex. 15.29Modeling
Cinemática inversa: braço robótico com 2 segmentos $\ell_1 = 30$ cm e $\ell_2 = 25$ cm precisa alcançar um ponto a distância $r = 40$ cm. Ângulo entre os segmentos?
Solve online
Ex. 15.30ModelingAnswer key
Velocidade resultante de barco $5$ km/h em rio com correnteza $3$ km/h perpendicular: módulo e ângulo?
Solve online
Ex. 15.31ModelingAnswer key
Um avião viaja a $500$ km/h em rumo $60°$ NE. Vento sopra a $100$ km/h do leste. Estime a velocidade resultante.
Solve online
Ex. 15.32Modeling
Em GPS bidimensional, dois satélites em $(0, 100)$ e $(50, 80)$ km enxergam você sob ângulos $30°$ e $45°$ . Descreva (não calcule) a triangulação.
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Ex. 15.33Proof
Demonstre a lei dos senos para triângulo agudo, usando a altura do vértice $C$ .
Ex. 15.34Proof
Demonstre a lei dos cossenos para triângulo qualquer, usando produto escalar.
Ex. 15.35Proof
Demonstre a fórmula de Heron usando a lei dos cossenos + área = $\tfrac{1}{2} ab \sin C$ .

参考文献

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.2: leis dos senos e cossenos. Fonte primária.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2–11.3: triângulos não-retângulos.
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · cap. 2: vetores e adição vetorial. Fonte primária do bloco C (modelagem).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trigonometria aplicada.