第16课 — 数列

写出 $a_n = 2n + 1$ 的前5项。

写出 $a_n = (-1)^n / n$ 的前5项。

写出 $a_n = n^2 - n$ 的前5项。

找 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ 的通项。

找 $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ 的通项。

找 $1/2, 1/4, 1/8, 1/16, \ldots$ 的通项。

找 $-1, 1, -1, 1, -1, \ldots$ 的通项。

若 $a_n = 3n - 1$，求 $a_{20}$。

若 $a_n = 2n - 4$，求哪个 $n$ 使得 $a_n = 100$？

数列 $a_n = 5n - 1$ 中有多少项小于 $200$？

数列：$a_1 = 2$，$a_{n+1} = 3 a_n + 1$。求前5项。

斐波那契：$F_1 = F_2 = 1$，$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$。求至 $F_{10}$。

数列：$a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n + 2n$。求至 $a_5$。

证明斐波那契数列满足 $F_n^2 - F_{n-1} F_{n+1} = (-1)^{n-1}$（Cassini恒等式）。对 $n = 2$ 和 $n = 3$ 验证。

找 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2 a_n$ 的显式公式。

数列：$a_1 = 5$，$a_{n+1} = a_n - 2$。确定通项 $a_n$。

通过数学归纳法证明 $a_n = 2^n - 1$ 满足 $a_1 = 1$ 和 $a_{n+1} = 2 a_n + 1$。

数列 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$（$\sqrt 2$ 的Newton迭代）。计算 $a_2, a_3, a_4$ 并与 $\sqrt 2 \approx 1{,}4142$ 比较。

证明数列 $a_{n+1} = a_n^2 - 2$，$a_1 = 3$ 爆炸（趋向无穷）。

建模数列"第n个月的兔子对数"（斐波那契）并证明递推关系。

证明 $a_n = (n+1)/n$ 递减且下有界1。

证明 $a_n = 2 - 1/n$ 递增且上有界2。

数列 $a_n = (-1)^n n$ 有界吗？递增吗？

证明 $a_n = 1/n^2$ 递减且有界1。

对哪个 $n$ 有 $a_n = 1/n < 0{,}001$？

证明 $a_n = (1 + 1/n)^n$ 递增。（困难 — 数字 $e$ 的预览。）

数列 $a_n = \sin(n)$（$n$ 以弧度计）有界吗？收敛吗？

对于数列 $a_n = n/(n+1)$，求从哪个 $n$ 开始有 $a_n > 0{,}99$。

当 $n \to \infty$ 时，$a_n = 1/n$ 接近什么值？

当 $n \to \infty$ 时，$a_n = (n + 5)/n$ 接近什么值？

数列 $a_n = (-1)^n$ 收敛吗？直观地说明理由。

$a_n = (3n^2 + 2)/(n^2 + 1)$ 当 $n \to \infty$ 时接近什么值？

数列 $a_n = 2^n$ 收敛吗？说明理由。

数列 $a_n = (1/2)^n$ 接近什么？计算前4项说明。

建模冷却的咖啡温度：$T_n = 65 \cdot 0{,}9^n + 25$ 每分钟。趋向什么值？

写出 $a_n = \dfrac{2n}{n^2+1}$ 的前5项。

数列 $a_n = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}$（部分和）。写出前5项。

通过数学归纳法证明 $F_1^2 + F_2^2 + \ldots + F_n^2 = F_n F_{n+1}$。