第18课 — 等比数列(PG)

定义和公式

通项

$a_n = a_1 q^{n-1}$

前 $n$ 项之和

当 $q \neq 1$ 时: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$

证明:$S_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$。乘以 $q$: $q S_n = a_1 q + a_1 q^2 + \ldots + a_1 q^n$ 相减:$q S_n - S_n = a_1 q^n - a_1$,所以 $S_n = a_1(q^n - 1)/(q - 1)$。∎

无限和(收敛 PG)

若 $|q| < 1$,则当 $n \to \infty$ 时 $q^n \to 0$。因此:

$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - q}$

这就是几何级数,泰勒级数(Trim 9)的核心部分。

性态

• $q > 1$:PG 指数增长。
• $q = 1$:常数。
• $0 < q < 1$:递减,收敛到 0。
• $q = -1$:振荡 $a_1, -a_1, a_1, \ldots$
• $q < -1$:振荡且振幅增大。