第19课 — 数列的直观极限

求 $\lim_{n \to \infty} 1/n$。

求 $\lim_{n \to \infty} 1/n^2$。

求 $\lim_{n \to \infty} (1/2)^n$。

求 $\lim_{n \to \infty} 2^n$（或论证其发散）。

求 $\lim_{n \to \infty} (n+1)/n$。

求 $\lim_{n \to \infty} (3n + 5)/(n + 2)$。

求 $\lim_{n \to \infty} n/2^n$。

求 $\lim_{n \to \infty} 5/n^3$。

求 $\lim_{n \to \infty} (2n^2 + 3)/(n^2 + 1)$。

用夹逼定理求 $\lim_{n \to \infty} (-1)^n/n$。

求 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$。

求 $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$。

求 $\lim_{n \to \infty} 1/\sqrt{n}$。

求 $\lim_{n \to \infty} (3n - 1)/(2n + 5)$。

用夹逼定理求 $\lim_{n \to \infty} \sin(n)/n$。

判断 $a_n = (-1)^n + 1/n$ 是否收敛。证明。

求 $\lim_{n \to \infty} (-1)^n$ 或论证其不存在。

判断 $a_n = 2 + (-0{,}5)^n$ 是否收敛，若是，收敛到什么。

判断 $a_n = \cos(n\pi)$ 是否收敛。证明。

求 $\lim_{n \to \infty} (1 + 2/n)^n$。

数列 $a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + \ldots + 1/n$（调和级数部分和）是否收敛？

求 $\lim_{n \to \infty} n \sin(1/n)$。

判断 $a_n = n!/n^n$ 是否收敛。

求 $\lim_{n \to \infty} \sin(n)/n$ 并与前一题的 $\lim_{n \to \infty} n\sin(1/n)$ 比较。

求 $\lim_{n \to \infty} (n+1)^2/n^3$。

电容器放电：$V_n = V_0 \cdot (0{,}9)^n$ 每个时间间隔。$V_n$ 趋向什么值？

迭代：$a_1 = 1$，$a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$。它收敛到什么值？

冷却定律：$T_n = 25 + 50 \cdot (0{,}9)^n$。温度趋向什么值？

10%年利率每年复利 $n$ 次给出因子 $(1 + 0{,}1/n)^n$。求极限和R$ 10.000投资1年的最终金额。

内接于单位圆的 $n$ 边正多边形的面积：$A_n = (n/2)\sin(2\pi/n)$。求 $\lim A_n$。

在统计学中，样本均值 $\bar X_n$ 当 $n \to \infty$ 时趋向什么值？什么定律保证这一点？

Euler方法的误差用 $n$ 步衰减为 $C/n$。它趋向什么值？这对方法的相容性说明什么？

证明如果数列的极限存在，它是唯一的。

$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$。它收敛到什么值？

证明若 $a_n \to L$ 且 $L > 0$，则存在 $N$ 使得对所有 $n \geq N$ 有 $a_n > L/2$。（使用 $\varepsilon = L/2$。）