第21课 — 笛卡尔平面：距离、中点

ℝ²中的解析几何

距离

对于 $P = (x_1, y_1)$，$Q = (x_2, y_2)$： $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

中点

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

按比例 $k$ 分割线段

将 $\overline{PQ}$ 按 $PR/RQ = k$ 的比例分割： $R = \left(\frac{x_1 + k x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k y_2}{1 + k}\right)$

面积计算

顶点为 $A = (x_1, y_1)$、$B = (x_2, y_2)$、$C = (x_3, y_3)$ 的三角形面积： $\text{面积} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$

等价于 $\frac{1}{2} |\det M|$，其中 $M$ 是向量 $\vec{AB}, \vec{AC}$ 构成的矩阵。

性质表