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v1 · padrão canônico

第24课 — 圆的方程

Forma reduzida (x-a)² + (y-b)² = r². Forma geral. Posição relativa entre reta e circunferência. Tangentes.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

方程与性质

标准式

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

一般式

展开：x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D=−2aD = -2a，E=−2bE = -2b，F=a2+b2−r2F = a^2 + b^2 - r^2。

恢复圆心：(a,b)=(−D/2,−E/2)(a, b) = (-D/2, -E/2)。半径：r=D2/4+E2/4−Fr = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F}（若为正则有效；否则不是实圆）。

直线与圆

位置准则公共点
相离d(C,r)>rd(C, r) > r0
相切d(C,r)=rd(C, r) = r1
相交d(C,r)<rd(C, r) < r2

两个圆

位置准则
外离d(C1,C2)>r1+r2d(C_1, C_2) > r_1 + r_2
外切d=r1+r2d = r_1 + r_2
相交∣r1−r2∣<d<r1+r2\lvert r_1 - r_2 \rvert \lt d \lt r_1 + r_2
内切d=∣r1−r2∣d = \lvert r_1 - r_2 \rvert
内含d<∣r1−r2∣d \lt \lvert r_1 - r_2 \rvert

切线-半径性质

PP 处的切线垂直于半径 CP‾\overline{CP}。

切线方程

圆 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 处的切线： (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 8Challenge 3Proof 2
  1. Ex. 24.1Application
    圆心 (0,0)(0,0) 半径 55 的方程。（答：x2+y2=25x^2 + y^2 = 25。）
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  2. Ex. 24.2ApplicationAnswer key
    圆心 (2,3)(2, 3) 半径 44 的方程。
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  3. Ex. 24.3Application
    圆心 (−1,5)(-1, 5) 半径 10\sqrt{10}。
    Solve online
  4. Ex. 24.4Application
    从方程 (x−3)2+(y+2)2=16(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 识别圆心和半径。（答：C=(3,−2)C = (3, -2)，r=4r = 4。）
    Solve online
  5. Ex. 24.5Application
    从方程 x2+y2−4x+6y−12=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 识别圆心和半径（配方法）。（答：(2,−3),r=5(2, -3), r = 5。）
    Solve online
  6. Ex. 24.6Application
    验证 (3,4)(3, 4) 是否在圆 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 上。
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  7. Ex. 24.7Application
    (0,0)(0,0) 相对于 (x−2)2+(y−1)2=4(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 的位置——内还是外？
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  8. Ex. 24.8Application
    直径为 (0,0)(6,8)‾\overline{(0,0)(6,8)} 的圆方程。
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  9. Ex. 24.9Application
    求 y=xy = x 与 x2+y2=8x^2 + y^2 = 8 的交点。
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  10. Ex. 24.10Application
    判断 y=x+5y = x + 5 与 x2+y2=16x^2 + y^2 = 16 是相切、相交还是相离。
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  11. Ex. 24.11ApplicationAnswer key
    (3,4)(3, 4) 到圆心 (0,0)(0,0) 的距离——在半径 r=5r=5 的圆内还是圆外？（答：在边上。）
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  12. Ex. 24.12Application
    过 (0,0),(4,0),(0,3)(0,0), (4,0), (0,3) 的圆——求方程。
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  13. Ex. 24.13Application
    在 (3,0)(3, 0) 与 xx 轴相切、半径为 55 的圆——求方程。
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  14. Ex. 24.14ApplicationAnswer key
    求 y=xy = x 与 x2+y2−4x=0x^2 + y^2 - 4x = 0 的切点。
    Solve online
  15. Ex. 24.15Application
    方程 x2+y2+4x−2y+10=0x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0 表示圆吗？（答：不——半径2<0^2 < 0。）
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  16. Ex. 24.16Modeling
    天线发射半径30 km的信号。圆心在 (0,0)(0, 0)。覆盖边界方程。
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  17. Ex. 24.17ModelingAnswer key
    两次地震：震中1在 (0,0)(0, 0)，影响范围100 km；震中2在 (120,0)(120, 0)，影响范围150 km。两个边界方程。同时受两次震动的点？
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  18. Ex. 24.18Modeling
    GPS：3颗卫星在 (0,0),(10,0),(5,8)(0,0), (10,0), (5,8)，测得距离 5,8,65, 8, 6。（三边测量——3个圆的方程组。）
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  19. Ex. 24.19Modeling
    速度 vv 时道路弯道的最小半径为 r=v2/(μg)r = v^2/(\mu g)。v=30v = 30 m/s，μ=0,7\mu = 0{,}7，g=9,81g = 9{,}81，计算之。
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  20. Ex. 24.20ModelingAnswer key
    圆形田径跑道周长 400 m。半径？
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  21. Ex. 24.21Application
    求 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 在点 (3,4)(3, 4) 处的切线。（答：3x+4y=253x + 4y = 25。）
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  22. Ex. 24.22Application
    从 (7,0)(7, 0) 引到圆 x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 的外切线。
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  23. Ex. 24.23ApplicationAnswer key
    从 (5,0)(5, 0) 引到圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 的外切线长度。（答：21\sqrt{21}。）
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  24. Ex. 24.24Application
    求 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 上离 (7,0)(7, 0) 最近的点。（答：(5,0)(5, 0)。）
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  25. Ex. 24.25Application
    过 (1,0),(−1,0),(0,1)(1, 0), (-1, 0), (0, 1) 的圆心。
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  26. Ex. 24.26Modeling
    无人机距基地2 km范围内。直线轨迹飞向目标：在哪些点穿过边界？
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  27. Ex. 24.27ModelingAnswer key
    两颗类 GPS 卫星在半径分别为 r1=6.500r_1 = 6{.}500 km 和 r2=7.000r_2 = 7{.}000 km 的圆形轨道上。证明它们处于同心轨道（不相交）。
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  28. Ex. 24.28Understanding
    证明所有 D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0 的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 是圆。
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  29. Ex. 24.29Understanding
    证明两个外切圆的圆心距 =r1+r2= r_1 + r_2。
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  30. Ex. 24.30ModelingAnswer key
    在统计学中，岭回归约束 β12+β22≤c\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq c 定义圆盘。解是误差椭圆触及圆盘的位置。
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  31. Ex. 24.31Challenge
    顶点为 (0,0),(6,0),(0,8)(0,0), (6,0), (0,8) 的三角形的最大内切圆。
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  32. Ex. 24.32Challenge
    求圆 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 与 (x−5)2+y2=4(x-5)^2 + y^2 = 4 的4条公切线。
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  33. Ex. 24.33Challenge
    满足 ∣PA∣/∣PB∣=k≠1|PA|/|PB| = k \neq 1 的点 PP 的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆）。
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  34. Ex. 24.34Proof
    证明切线在切点处垂直于半径。
    Solve online
  35. Ex. 24.35Proof
    证明点的幂公式：∣PA∣⋅∣PB∣=∣PC∣2−r2|PA| \cdot |PB| = |PC|^2 - r^2（对过 PP 的任意割线为常数）。
    Solve online

参考来源

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

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