第25课 — 圆锥曲线：椭圆、抛物线、双曲线

标准方程

椭圆

到2个焦点的距离之和为常数： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中 $a > b > 0$。焦点位于 $(\pm c, 0)$，$c = \sqrt{a^2 - b^2}$。长轴 $= 2a$，短轴 $= 2b$。离心率 $e = c/a \in [0, 1)$。当 $a = b$ 时，是圆。

抛物线

到焦点的距离 $=$ 到准线的距离： $y^2 = 4px$

焦点在 $(p, 0)$，准线 $x = -p$。

双曲线

到2个焦点的距离之差为常数： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

焦点位于 $(\pm c, 0)$，$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。离心率 $e = c/a > 1$。渐近线 $y = \pm (b/a) x$。

三种圆锥曲线表

圆锥曲线一般式

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$：

• $\Delta < 0$：椭圆（若 $A=C, B=0$ 则为圆）。
• $\Delta = 0$：抛物线。
• $\Delta > 0$：双曲线。