第26课 — 平面向量

ℝ²中的向量

运算

• 加法：$\vec u + \vec v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$。
• 数乘：$\alpha \vec v = (\alpha v_1, \alpha v_2)$。
• 减法：$\vec u - \vec v = (u_1 - v_1, u_2 - v_2)$。

模（范数）

$|\vec v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

单位向量

$\hat v = \vec v / |\vec v|$ 模为1。单位向量。

标准基向量

$\hat\imath = (1, 0)$，$\hat\jmath = (0, 1)$。每个向量：$\vec v = v_1 \hat\imath + v_2 \hat\jmath$。

极坐标形式

$\vec v = (|\vec v|\cos\theta, |\vec v|\sin\theta)$，其中 $\theta$ 是与 $x$ 正轴的夹角。

性质（向量空间的8条公理）

这8条性质刻画了向量空间——在线性代数（第12学期）中正式介绍。

平行四边形法则

$\vec u + \vec v$ 是由 $\vec u$ 和 $\vec v$ 形成的平行四边形的对角线。