Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

第27课 — 点积

Produto interno (dot product). Ângulo entre vetores, projeção, ortogonalidade. Trabalho mecânico.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta
Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

定义与性质

性质

  • 交换律：u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u。
  • 分配律：u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w。
  • 数乘线性：(αu⃗)⋅v⃗=α(u⃗⋅v⃗)(\alpha \vec u) \cdot \vec v = \alpha (\vec u \cdot \vec v)。
  • 正定性：u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2≥0\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0，等号   ⟺  u⃗=0⃗\iff \vec u = \vec 0。

符号与几何

u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec vcos⁡θ\cos\theta角度
>0> 0>0> 0锐角 θ<90°\theta < 90°
=0= 000直角，θ=90°\theta = 90°（正交）
<0< 0<0< 0钝角 θ>90°\theta > 90°

正交性

u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \iff \vec u \cdot \vec v = 0。

角度

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| |\vec v|}

投影

u⃗\vec u 在 v⃗\vec v 方向上的投影： projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\text{proj}_{\vec v} \vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2} \vec v

投影的标量大小：u⃗⋅v⃗∣v⃗∣\frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|}。

核心应用——力学功

W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d——力做的功是它与位移的点积。

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 20Modeling 12Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 27.1ApplicationAnswer key
    (3,4)⋅(1,2)(3, 4) \cdot (1, 2)。（答：11。）
    Solve online
  2. Ex. 27.2Application
    (2,−1)⋅(3,5)(2, -1) \cdot (3, 5)。（答：1。）
    Solve online
  3. Ex. 27.3Application
    (0,0)⋅v⃗(0, 0) \cdot \vec v 对任意 v⃗\vec v。（答：0。）
    Solve online
  4. Ex. 27.4Application
    验证 (3,4)(3, 4) 与 (−4,3)(-4, 3) 是否垂直。（答：是，dot = 0。）
    Solve online
  5. Ex. 27.5Application
    kk 取何值时 (2,k)⋅(3,1)=0(2, k) \cdot (3, 1) = 0？（答：k=−6k = -6。）
    Solve online
  6. Ex. 27.6ApplicationAnswer key
    (1,0)(1, 0) 与 (1,1)(1, 1) 之间的夹角。（答：45°。）
    Solve online
  7. Ex. 27.7Application
    (3,4)(3, 4) 与 (4,3)(4, 3) 之间的夹角。
    Solve online
  8. Ex. 27.8Application
    证明 ∣v⃗∣2=v⃗⋅v⃗|\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v 对 v⃗=(2,3)\vec v = (2, 3)。
    Solve online
  9. Ex. 27.9Application
    (4,3)(4, 3) 在 (1,0)(1, 0) 上的投影。（答：(4,0)(4, 0)。）
    Solve online
  10. Ex. 27.10Application
    (4,3)(4, 3) 在 (0,1)(0, 1) 上的投影。
    Solve online
  11. Ex. 27.11Application
    (3,5)(3, 5) 在 (1,1)(1, 1) 上的投影。
    Solve online
  12. Ex. 27.12Application
    将 (3,5)(3, 5) 分解为与 (1,0)(1, 0) 平行 + 垂直部分。
    Solve online
  13. Ex. 27.13ApplicationAnswer key
    对 u⃗=(1,2),v⃗=(3,−1)\vec u = (1, 2), \vec v = (3, -1)：它们之间的夹角？
    Solve online
  14. Ex. 27.14ApplicationAnswer key
    与 (2,1)(2, 1) 正交的单位向量。（答：(±1,∓2)/5(\pm 1, \mp 2)/\sqrt 5。）
    Solve online
  15. Ex. 27.15Application
    求与 (3,4)(3, 4) 垂直、模为5的向量。
    Solve online
  16. Ex. 27.16Application
    (1,0)(1, 0) 与 (0,1)(0, 1) 之间夹角的余弦。（答：0。）
    Solve online
  17. Ex. 27.17ApplicationAnswer key
    u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u 总是非负的。证明。
    Solve online
  18. Ex. 27.18Application
    对 u⃗=(3,0),v⃗=(0,4)\vec u = (3, 0), \vec v = (0, 4)：u⃗⋅v⃗=?\vec u \cdot \vec v = ?。
    Solve online
  19. Ex. 27.19Application
    对 u⃗=(2,3),v⃗=(−3,2)\vec u = (2, 3), \vec v = (-3, 2)：是否正交？夹角？（答：是，90°。）
    Solve online
  20. Ex. 27.20Application
    非零向量之间什么 θ\theta 时 u⃗⋅v⃗<0\vec u \cdot \vec v < 0？
    Solve online
  21. Ex. 27.21Modeling
    力 F⃗=(10,5)\vec F = (10, 5) N 做位移 d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m 的功：W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d。（答：50 J。）
    Solve online
  22. Ex. 27.22ModelingAnswer key
    力 F⃗=(5,0)\vec F = (5, 0) N 拉箱子 d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m。有效功 = F⃗\vec F 在 d⃗\vec d 方向上的投影乘以 ∣d⃗∣|\vec d|。
    Solve online
  23. Ex. 27.23Modeling
    在斜面上，重力 g⃗=(0,−mg)\vec g = (0, -mg) 投影到斜面方向 (cos⁡θ,−sin⁡θ)(\cos\theta, -\sin\theta)。沿平面分量 = mgsin⁡θmg \sin\theta。
    Solve online
  24. Ex. 27.24Modeling
    在 ML 中，两个嵌入之间的余弦相似度：cos⁡θ=u⃗⋅v⃗/(∣u⃗∣∣v⃗∣)\cos\theta = \vec u \cdot \vec v / (|\vec u||\vec v|)。对于 (0.3,0.5)(0.3, 0.5) 和 (0.6,0.4)(0.6, 0.4)，计算。
    Solve online
  25. Ex. 27.25Modeling
    在推荐系统中，两位用户的评分向量 (5,4,3,5,2)(5,4,3,5,2) 和 (4,5,3,4,3)(4,5,3,4,3)。余弦？
    Solve online
  26. Ex. 27.26Modeling
    在数字滤波器中，信号 (1,2,1,0)(1, 2, 1, 0) 与模板 (1,1,0,0)(1, 1, 0, 0) 通过点积的相关性。（答：3。）
    Solve online
  27. Ex. 27.27Modeling
    非平凡功：垂直于运动的力做零功（θ=90°\theta = 90°，cos⁡=0\cos = 0）。
    Solve online
  28. Ex. 27.28Modeling
    朗伯定律（光照）：强度 I=I0n⃗⋅ℓ^I = I_0 \vec n \cdot \hat\ell——法线-光方向的点积。
    Solve online
  29. Ex. 27.29Modeling
    在 GPS 中，径向误差通过点积投影到切向方向。
    Solve online
  30. Ex. 27.30Modeling
    在 Transformer（注意力机制）中，得分 = Q⋅K/dQ \cdot K / \sqrt d。对 Q=(1,2),K=(3,4),d=2Q = (1, 2), K = (3, 4), d = 2，计算。
    Solve online
  31. Ex. 27.31ModelingAnswer key
    在量化金融中，投资组合收益是 rp=w⃗⋅r⃗r_p = \vec w \cdot \vec r，权重 w⃗\vec w 收益 r⃗\vec r。对 w⃗=(0,5,0,3,0,2)\vec w = (0{,}5, 0{,}3, 0{,}2) 和 r⃗=(0,10,0,08,−0,02)\vec r = (0{,}10, 0{,}08, -0{,}02)，计算。
    Solve online
  32. Ex. 27.32Modeling
    电通量 Φ=E⃗⋅A⃗\Phi = \vec E \cdot \vec A。对 E⃗=(5,3)\vec E = (5, 3) N/C 和 A⃗=(0,2,0,1)\vec A = (0{,}2, 0{,}1) m²，计算。
    Solve online
  33. Ex. 27.33ChallengeAnswer key
    证明柯西-施瓦茨不等式 ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|。（用 ∣u⃗+tv⃗∣2≥0|\vec u + t\vec v|^2 \geq 0 对所有 tt。）
    Solve online
  34. Ex. 27.34Proof
    证明向量余弦定理：∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2u⃗⋅v⃗|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2 \vec u \cdot \vec v。
    Solve online
  35. Ex. 27.35Challenge
    用余弦定理证明 u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta。
    Solve online

参考来源

Updated on 2026-04-30 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.