第29课 — 2x2 和 3x3 线性方程组

方法与理论

求解方法

1. 代入法：解出一个变量并代入另一方程。
2. 加减消元法：组合方程消去变量。
3. 克拉默法则：行列式之比。
4. 高斯消元法：将矩阵三角化。
5. 逆矩阵法：$\mathbf x = A^{-1}\mathbf b$。

2x2 克拉默法则

对于 $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$，$D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$：

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

3x3 克拉默法则

3x3 行列式（萨吕斯法则）： $\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$

$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$

其中 $A_i$ 是将第 $i$ 列替换为 $\vec b$ 后的矩阵。

通过行列式分类

高斯消元

初等变换：

1. 交换两个方程。
2. 用非零标量乘方程。
3. 将一个方程的倍数加到另一个。

目标：上三角。然后回代。