v1 · padrão canônico

第30课 — 第三学期巩固：解析几何 + 向量

Workshop integrador das aulas 21-29: geometria analítica, cônicas, vetores, sistemas lineares.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Math II japonês — geometria analítica plana · Equiv. Klasse 10/11 alemã — Analytische Geometrie

d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2, \quad y = mx + n, \quad \vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2, \quad A\mathbf x = \mathbf b

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

第三学期综合

关键公式表

主题	公式	课程
距离	$d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$	21
中点	$((x_1+x_2)/2, ...)$	21
直线方程	$y = mx + n$	22
斜率	$m = \Delta y / \Delta x$	22
平行	$m_r = m_s$	23
垂直	$m_r m_s = -1$	23
点到直线距离	$\\|Ax_0 + By_0 + C\\|/\sqrt{A^2 + B^2}$	23
圆	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$	24
椭圆	$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$	25
抛物线	$y^2 = 4px$	25
双曲线	$x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$	25
向量加法	逐分量	26
向量模	$\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$	26
点积	$u_1 v_1 + u_2 v_2 = \\|u\\|\\|v\\|\cos\theta$	27
功	$W = \vec F \cdot \vec d$	28
牛顿第二定律	$\sum \vec F = m\vec a$	28
2x2 克拉默	$x = (c_1 b_2 - c_2 b_1)/D$	29

题目风格（35个练习）

综合应用（~15个）：几何 + 代数。
建模（~10个）：向量物理、电信、轨迹、金融。
挑战（~7个）：巴西奥赛 / ITA / IME 水平。
证明（~3个）：巩固严格证明。

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 12Modeling 13Challenge 5Proof 5

Ex. 30.1Application
$(2, 5)$ 与 $(8, 13)$ 之间的距离。（答：10。）
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Ex. 30.2Application
过 $(0, 4)$ 平行于 $y = 2x - 3$ 的直线方程。
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Ex. 30.3Application
$\overline{(0,0)(6,0)}$ 的中垂线——方程。（答： $x = 3$ 。）
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Ex. 30.4Application
圆 $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ 的圆心。（答： $(3, -2)$ 。）
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Ex. 30.5Application
$(5, 5)$ 相对于 $x^2 + y^2 = 25$ 的位置。（答：外部，距离 $5\sqrt 2 > 5$ 。）
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Ex. 30.6ApplicationAnswer key
焦点 $(3, 0)$ 、准线 $x = -3$ 的抛物线方程。（答： $y^2 = 12x$ 。）
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Ex. 30.7Application
$x^2/16 + y^2/9 = 1$ 的离心率。
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Ex. 30.8ApplicationAnswer key
$x^2 + y^2 = 25$ 在 $(3, 4)$ 处的切线。
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Ex. 30.9Modeling
警笛：500m 半径覆盖。警笛在 $(0,0)$ 的边界方程。
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Ex. 30.10Modeling
4G 天线覆盖 2km。对于 $(0,0), (3,0), (0,3), (3,3)$ 的 4 个天线，哪个区域有重叠覆盖？
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Ex. 30.11Application
$(2, -1) + 3 \cdot (1, 2)$ 。（答： $(5, 5)$ 。）
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Ex. 30.12Application
$(3, 4)$ 与 $(1, 0)$ 之间的夹角。
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Ex. 30.13ApplicationAnswer key
$(5, 12)$ 在 $(0, 1)$ 上的投影。（答： $(0, 12)$ 。）
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Ex. 30.14Modeling
$\vec F = (8, 6)$ N 移动物体 $\vec d = (3, 0)$ m 做的功。（答：24 J。）
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Ex. 30.15Modeling
5 kg 在 30° 斜面上。下滑加速度（无摩擦）。（答： $g/2 \approx 4{,}9$ m/s²。）
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Ex. 30.16Modeling
飞机 700 km/h 沿 NE 方向，东风 100 km/h。合速度。
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Ex. 30.17ModelingAnswer key
两根缆绳支撑 200 kg 物体，与垂直方向 $30°$ 和 $45°$ 。每根缆绳的张力。
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Ex. 30.18Modeling
DSP 中， $(0.5, 0.8, 0.3)$ 与 $(0.3, 0.6, 0.4)$ 的余弦相似度。
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Ex. 30.19ModelingAnswer key
在 Transformer 中， $Q = (1, 1)$ 、 $K = (3, 4)$ 的注意力得分是 $Q \cdot K / \sqrt 2$ 。
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Ex. 30.20Modeling
弹道发射： $v_0 = 30$ m/s 以 $45°$ 。水平射程？（答： $\approx 91{,}7$ m。）
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Ex. 30.21Application
求解 $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$ 。（答： $(\frac{9}{7}, \frac{20}{7})$ 。）
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Ex. 30.22Modeling
混合：30% 与 60% 配制 100 L 45%。求出。（答：各 50L。）
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Ex. 30.23Modeling
小店卖 2 种产品。5A + 3B = R$ 110，2A + 4B = R$ 80。价格。（答：A=10，B=15。）
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Ex. 30.24Modeling
GPS 三角测量：3 颗卫星在 $(0,0), (10,0), (0,10)$ 测得距离 $\sqrt{50}, \sqrt{50}, \sqrt{50}$ 。你的位置？
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Ex. 30.25Modeling
2 资产马科维茨：在 $w_1 + w_2 = 1$ 约束下最小化 $w_1^2 + 2w_2^2$ 。最优权重？（答： $w_1 = 2/3, w_2 = 1/3$ 。）
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Ex. 30.26Challenge
顶点为 $(0,0), (10,0), (0,6)$ 的三角形的最大内切圆。
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Ex. 30.27Challenge
求过 $(0, 0), (4, 0), (2, 3)$ 且长轴水平的椭圆。
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Ex. 30.28Challenge
直线 $r$ 与圆 $x^2 + y^2 = 4$ 相切且平行于 $y = x + 1$ 。方程？
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Ex. 30.29Challenge
向量 $\vec v$ 模为 $\sqrt{20}$ ，垂直于 $(3, 1)$ ， $v_2 > 0$ 。分量？
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Ex. 30.30ChallengeAnswer key
方程组 $\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{cases}$ —— $a$ 取何值时（a）有唯一解，（b）有无穷多解，（c）无解？
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Ex. 30.31Proof
证明在直角三角形中，斜边是外接圆的直径（泰勒斯定理）。
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Ex. 30.32Proof
用点积证明 $\mathbb{R}^2$ 上的柯西-施瓦茨不等式。
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Ex. 30.33ProofAnswer key
用向量投影证明点到直线距离公式。
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Ex. 30.34ProofAnswer key
证明线段的中垂线垂直于该线段且过其中点。
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Ex. 30.35Proof
证明任何闭合多边形各边的向量之和为零。
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参考来源

巩固课汇总第21-29课的来源：

College Algebra — OpenStax · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY · §2, §10.
Algebra and Trigonometry — OpenStax · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY · §10.
Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4th ed · EN · CC-BY-NC · 第1、6章。
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · 第V、O、SLE 章。
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY · 第2-7章：向量运动学与动力学。
经济学诺贝尔奖 1990 — Markowitz, Miller, Sharpe · 现代投资组合理论。
经济学诺贝尔奖 1997 — Merton, Scholes · 衍生品定价。

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