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第31课 — 矩阵入门

Matriz como tabela retangular de números. Notação, dimensões, igualdade, tipos especiais.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10 alemã · Pré-cálculo norte-americano §11.5

A = (a_{ij})_{m \times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

定义与类型

特殊类型

类型	定义
方阵	$m = n$
行矩阵	$1 \times n$
列矩阵	$m \times 1$
对角矩阵	方阵且 $i \neq j$ 时 $a_{ij} = 0$
单位矩阵 $I_n$	对角阵且 $a_{ii} = 1$
零矩阵 $O$	所有元素均为零
上三角	$i > j$ 时 $a_{ij} = 0$
下三角	$i < j$ 时 $a_{ij} = 0$
对称	$A^T = A$ ，即 $a_{ij} = a_{ji}$
反对称	$A^T = -A$ ，即 $a_{ij} = -a_{ji}$
数量矩阵	对角阵且 $a_{ii} = k$ 常数

方阵的对角

主对角为 $\{a_{ii}\}$ 。迹： $\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ 。

形成法则

通常用公式 $a_{ij} = f(i, j)$ 定义 $A$ 。例：

$a_{ij} = i + j$
$a_{ij} = (-1)^{i+j}$
$a_{ij} = \delta_{ij}$ （克罗内克 delta——生成单位矩阵）

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 6Modeling 10Challenge 3Proof 1

Ex. 31.1Application
识别 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ 的维度。（答： $3 \times 2$ 。）
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Ex. 31.2Application
写出 $3 \times 3$ 单位矩阵。
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Ex. 31.3Application
写出 $2 \times 4$ 零矩阵。
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Ex. 31.4Application
对 $A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ，识别 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ 。（答： $5, -2, 3, 4$ 。）
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Ex. 31.5ApplicationAnswer key
构造 $A_{2 \times 3}$ 使 $a_{ij} = i + j$ 。
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Ex. 31.6ApplicationAnswer key
构造 $A_{3 \times 3}$ 使 $a_{ij} = i \cdot j$ 。
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Ex. 31.7ApplicationAnswer key
验证 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ 是否对称。（答：是。）
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Ex. 31.8Application
验证 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 是否反对称。
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Ex. 31.9ApplicationAnswer key
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ 的迹。（答： $15$ 。）
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Ex. 31.10Application
$x$ 取何值时 $\begin{pmatrix} x & 2 \\ 3 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ ？
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Ex. 31.11ApplicationAnswer key
构造任意 $3 \times 3$ 上三角矩阵。
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Ex. 31.12Application
构造对角线为 $2, -1, 5$ 的 $3 \times 3$ 对角矩阵。计算迹。（答： $6$ 。）
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Ex. 31.13Application
识别 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ 的元素 $a_{32}$ 。（答： $8$ 。）
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Ex. 31.14Application
对 $A_{m \times n}$ 且 $m = n$ ，矩阵的类型？
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Ex. 31.15ApplicationAnswer key
$4 \times 5$ 矩阵有多少元素？（答： $20$ 。）
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Ex. 31.16Application
构造 $A_{2 \times 2}$ 使 $a_{ij} = (-1)^{i+j}$ 。
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Ex. 31.17Application
验证 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是否为单位矩阵。
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Ex. 31.18ApplicationAnswer key
构造 $A_{3 \times 3}$ 使 $a_{ij} = \max(i, j)$ 。
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Ex. 31.19Application
判断：矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 是否对称？
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Ex. 31.20ApplicationAnswer key
构造 $5 \times 5$ 单位矩阵。多少个零？（答： $20$ 。）
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Ex. 31.21Application
构造 $A_{3 \times 3}$ 使 $a_{ij} = |i - j|$ 。是否对称？
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Ex. 31.22Application
构造 $A_{4 \times 4}$ 使 $a_{ij} = \delta_{ij}$ （克罗内克 delta）。是什么矩阵？
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Ex. 31.23Application
$I_n$ 有多少非零元素？（答： $n$ 。）
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Ex. 31.24Application
构造 $4 \times 4$ 下三角矩阵， $i \geq j$ 时 $a_{ij} = i + j$ 。
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Ex. 31.25Application
判断 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ 是否对称。
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Ex. 31.26Application
求 $x, y$ 使 $\begin{pmatrix} 2x & 3 \\ 5 & y+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ 。（答： $x = 4, y = 6$ 。）
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Ex. 31.27Understanding
证明对称矩阵必为方阵。
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Ex. 31.28UnderstandingAnswer key
证明反对称矩阵的对角线全为零。
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Ex. 31.29Understanding
证明若 $A$ 对称，则对任意 $i, j$ 有 $a_{ij} = a_{ji}$ 。
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Ex. 31.30Understanding
条目在 $\{0, 1\}$ 中的 $3 \times 3$ 对称矩阵有多少个？（答： $2^6 = 64$ ——选 6 个独立条目。）
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Ex. 31.31Understanding
证明每个方阵都可写为对称 + 反对称： $A = \frac{A + A^T}{2} + \frac{A - A^T}{2}$ 。
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Ex. 31.32Understanding
对 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ 验证上述分解。
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Ex. 31.33ModelingAnswer key
3 个学生 4 门学科的分数：用虚构数据构造 $3 \times 4$ 矩阵。
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Ex. 31.34ModelingAnswer key
4 个城市间距离： $4 \times 4$ 对称矩阵，对角线为零。
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Ex. 31.35Modeling
$2 \times 3$ 灰度图像。每个元素 0（黑）到 255（白）。构造例。
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Ex. 31.36Modeling
商店 × 产品价格表：构造 $3 \times 4$ 矩阵（3 商店，4 产品）。
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Ex. 31.37Modeling
在 ML 中，含 $n$ 样本 × $d$ 特征的数据集：矩阵维度？
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Ex. 31.38Modeling
线性方程组 $\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ ——写出系数矩阵和增广矩阵。
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Ex. 31.39Modeling
含 4 个顶点、边 $\{1\text{-}2, 2\text{-}3, 3\text{-}4, 1\text{-}4\}$ 的图的邻接矩阵。
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Ex. 31.40Modeling
在金融中，5 只股票的 $5 \times 5$ 相关性矩阵：对称，对角 $= 1$ 。多少个唯一值？（答： $10$ 。）
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Ex. 31.41Modeling
在生产中，成本 $\times$ 数量矩阵：每个元素是该组合的总成本。
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Ex. 31.42Modeling
在控制中，状态 $\mathbf x \in \mathbb R^3$ ，动力学矩阵 $A \in M_{3\times 3}$ 。多少条目？
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Ex. 31.43Challenge
证明 $n \times n$ 对称矩阵空间的维度是 $n(n+1)/2$ 。
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Ex. 31.44Challenge
证明 $n \times n$ 反对称矩阵空间的维度是 $n(n-1)/2$ 。
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Ex. 31.45Challenge
构造 $A_{3 \times 3}$ 使 $a_{ij} = \binom{i+j-2}{j-1}$ 。识别模式？（帕斯卡行——平移的希尔伯特矩阵。）
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Ex. 31.46Proof
证明若 $A$ 同时对称和反对称，则 $A = O$ 。
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本课参考来源

Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 2024, 4th ed · EN · CC-BY-NC · 第3章：矩阵。主要来源。
A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · 2022 · EN · GFDL · 第M章。
Álgebra linear — Wikilivros · 持续更新 · PT-BR · CC-BY-SA.